Proof π is a transcendental number.

$\pi$ = 3.1415926… นี่เชื่อว่า สิ่งนี้เป็นตัวเลขตัวนึงที่ทุกๆคนต้องได้เจอกันตั้งแต่เด็กยันโต ตัวเราเองก็เป็นหนึ่งในนั้น

$\pi$ เป็นสิ่งใกล้ตัวเรามากๆ

$\pi$ อยู่ในทุกๆที่ มีวงกลมอยู่ที่ไหน ก็จะต้องเจอ $\pi$ ที่นั้น

\[Area(r) = \pi r^2\]

แม้จะเป็นที่ที่ไม่มีวงกลมหลายๆที่ก็มี $\pi$ ไปโผล่อยู่เรื่อยๆ อย่าง ค่าผลรวมของ infinite serie $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+...$ ก็ยังปรากฎ $\pi$ มาให้เห็น

\[\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{n^2}) = \frac{\pi^2}{6}\]

อย่างในงาน AI ซึ่งมักพูดถึง Gaussian noise และเจ้า noise ที่ว่าก็ยังมีการปรากฎตัว $\pi$

\[z \sim p(z) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(z-\mu)^2}{2\sigma^2}}\]

เรียกได้ว่า ตามหลอกหลอนไปอยู่ในทุกๆที่ ตั้งแต่สมัยเรียนมัธยม ไปจนถึงเรียนปริญญาเอก

นึกย้อนกลับไป สมัยเด็กๆ ที่โรงเรียนจะสอนให้ท่องจำเอาว่า $\pi$ = 22/7 หรือ 3.14285714286 ซึ่งสมัยนั้นก็พลอยเข้าใจไปเองว่า มันคือ exact value ของ $\pi$

ต่อมาโตขึ้น จึงเข้าใจว่า $\pi$ ไม่ได้มีค่าสิ้นสุด ตัวเลข 3.14 หรือ 3.14285714286 ที่เคยท่องจำเป็นเพียงแค่ค่าประมาณของ $\pi$ เท่านั้น กลับกัน ค่าจริงๆของ $\pi$ กลับเป็นเลขที่มีทศนิยมยาวไปเรื่อยๆ ไม่ซ้ำ และ ไม่สิ้นสุด (a.k.a จำนวนอตรรกยะ)

สำหรับตัวเราเอง เรื่องนี้เป็นเรื่องที่น่าตื่นเต้นมาก แค่อ่านในหนังสือก็สนุกแล้ว รู้สึกเหมือนได้เจอปริศนาอะไรบางอย่าง

ต่อมาโตขึ้นอีก จึงรู้จัก $\pi$ มากขึ้น และพบว่า $\pi$ ยังมีคุณสมบัติอื่นๆอีกมากมายที่น่าสนใจมากๆ หนึ่งในนั้น คือ นอกจาก $\pi$ เป็นจำนวนอตรรกยะ (irrational number) แล้ว $\pi$ ก็เป็นจำนวนอดิศัย (transcendental number) ด้วย

What is Transcendental Number?

จำนวนอดิศัย คืออะไร?

ย้อนกลับไป การเรียนคณิตศาสตร์ของเราๆ มักจะเริ่มด้วยการทำความรู้จักตัวเลขในรูปแบบต่างๆ เริ่มต้นจาก จำนวนนับ 1, 2, 3, …

ต่อมา จึงขยายเป็นจำนวนเต็ม … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … ซึ่งมีทั้งเลขที่มากกว่า 0 และน้อยกว่า 0

ต่อมา ก็ขยายเพิ่มเติมไปเรียน จำนวนตรรกยะ หรือ ตัวเลขที่แทนได้ด้วยเศษส่วนของจำนวนเต็ม หรือ แทนด้วยเลขทศนิยมซ้ำ อย่าง $\frac{1}{2}$, $\frac{18}{14}$, 2.555…, 3.142142142…

และ จำนวนที่เป็นขั้วตรงข้ามของมัน หรือ จำนวนอตรรกยะ ซึ่งไม่สามารถแทนด้วยเศษส่วน หรือ ทศนิยมซ้ำ ได้ เช่น $\sqrt{2}$, $2\sqrt{3}$, $sin(1)$, $log(20)$, และ ก็รวมไปถึง ค่าคงที่อย่าง $e$ และ $\pi$ ด้วย

ต่อมาสามารถขยายต่อไปเป็น จำนวนจริง หรือ ตัวเลขทุกๆตัวที่เป็นไปได้ ที่สามารถเจอได้บนเส้นจำนวน (??? เส้นยาวๆลากจาก $-\infty$ ถึง $\infty$)

เราสามารถเขียนโครงสร้างของกลุ่มตัวเลขทั้งหมดที่พูดไป ในรูปแบบของ set ที่ซ้อนกันไปเรื่อยๆ ตามรูป

แต่ทั้งนี้ ยังมีอีกหนึ่งเซตที่มักจะโดยข้ามไป คือ Algebraic Numbers ¹ และ คู่ตรงข้ามของมัน คือ Transcendental Numbers

โดย เจ้า Algebraic Numbers เป็นส่วนขยายต่อจาก จำนวนตรรกยะ

หากพิจารณาตามนิยามของ จำนวนตรรกยะ จะได้ว่า $n$ เป็นจำนวนตรรกยะ หรือ $n \in \mathbb{Q}$ ก็ต่อเมื่อ $n$ สามารถเขียนอยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็ม $n = \frac{p}{q}$ หรือ

\[n \in \mathbb{Q} \Leftrightarrow \exists p,q \in \mathbb{Z} \text{ such that } n = \frac{p}{q}\]

ซึ่งสามารถปรับให้อยู่ในรูปแบบดังนี้

\[n \in \mathbb{Q} \Leftrightarrow \exists p,q \in \mathbb{Z} \text{ such that } q*n + p = 0\]

จะได้ว่า จำนวนตรรกยะ สามารถนิยามใหม่เป็น จำนวน $x$ ใดๆก็ตามที่สามารถทำให้สมการ $a*x + b = 0$ เป็นจริงได้ หรือพูดอีกอย่างว่า จำนวนตรรกยะ คือ เซตของตัวเลขที่เป็นคำตอบที่เป็นไปได้ทั้งหมด ของสมการ linear ใดๆ ที่มีสัมประสิทธิ์ (coefficients) เป็นจำนวนเต็ม

ด้วยคอนเซปนี้ นักคณิตศาสตร์จึงตั้งคำถามต่อไปว่า จะเป็นยังไงนะถ้าเราเปลี่ยน สมการ linear เป็น polynomial degree อื่นๆ

สิ่งที่เกิดขึ้น คือ

ถ้าเราเปลี่ยน สมการ linear เป็น polynomial degree 2 หรือ quadratic polynomial สิ่งที่ได้ คือ quadratic numbers – เซตของตัวเลขที่เป็นคำตอบที่เป็นไปได้ทั้งหมด ของสมการ quadratic polynomial $a*x^2 + bx + c = 0$ ใดๆ ที่มีสัมประสิทธิ์ (coefficients) เป็นจำนวนเต็ม

ตัวอย่าง quadratic numbers เช่น $2+sqrt(2)$ ซึ่งเป็นคำตอบจากสมการ $x^2-4x+2 = 0$ หรือ $\phi$ (สัดส่วนทองคำ) หรือ $\frac{1+sqrt(5)}{2}$ จากสมการ $x^2-x-1 = 0$

ถ้าเราเปลี่ยนไปใช้ polynomial degree 3 ก็จะได้ cubic numbers

ถ้าเราเปลี่ยนไปใช้ polynomial degree 4 ก็จะได้ quartic numbers

…

ถ้าเราเปลี่ยนไปใช้ any polynomial ก็จะได้ algebraic numbers นั้นเอง

สรุป คือ algebraic numbers คือ เซตของตัวเลขที่เป็นคำตอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดของสมการ polynomial ใดๆ ที่มีสัมประสิทธิ์ (coefficients) เป็นจำนวนเต็ม

และ ตรงกันข้าม transcendental numbers คือ เซตของตัวเลขที่ไม่สามารถเป็นคำตอบของสมการ polynomial (ที่มีสัมประสิทธิ์ (coefficients) เป็นจำนวนเต็ม) ใดๆ

และ $\pi$ ก็เป็นสมาชิกหนึ่งของ transcendental numbers นี้เอง

แปลว่า เราจะไม่สามารถหาจำนวนเต็ม a, b, c ใดๆที่ทำให้สมการนี้ $a*\pi^2 + b\pi + c = 0$ เป็นจริง และรวมไปถึง สมการ integer polynomial² ใดๆ

Proving that π is transcendental

บทพิสูจน์ว่า π เป็นจำนวนอดิศัย

จะว่าไปแล้ว ส่วนตัวพยายามทำความเข้าใจบทพิสูจน์นี้มานับรวมๆก็ร่วม 10 ปีแล้ว สิ่งที่เข้าใกล้มากที่สุด ก็คือ บล๊อคเมื่อ 9 ปีก่อน สรุปบทพิสูจน์ $\pi$ เป็นจำนวนอตรรกยะ

แต่จากบทพิสูจน์ irrational มาเป็น transcendental เหมือนจะเป็น super steep step ขั้นบันไดที่ชันมากๆ ด้วยความสามารถที่ไม่ถึงขั้นทั้งในด้านความรู้ทางภาษา (ไม่เข้าใจคำอธิบาย) รวมไปถึง ด้านความรู้ทางคณิตศาสตร์ (ไม่เข้าใจเทคนิค/กระบวนการ)

เวลาผ่านไป ความรู้ทางภาษาเริ่มไปวัดไปวาได้ พอเข้าใจภาพรวมของบทพิสูจน์ แต่ก็ยังทะเลาะกับหลายๆ ทฤษฎีบทที่ต้องใช้³ แต่ช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมา มี ChatGPT และผองเพื่อน ตรรหนักได้ว่า เราสามารถใช้ AI เหล่านี้เป็นเครื่องมือช่วยทำความเข้าใจบทพิสูจน์ที่ซับซ้อนอันนี้ได้หนิหน่า

ไปๆมา ถือโอกาสใช้มันเป็นคู่หูช่วยอ่านไปซะเลย เป็นการทดลองครั้งแรก และปรากฎว่า มันสามารถทำงานได้ดีอย่างไม่น่าเชื่อ⁴ จนคิดว่า น่าจะถึงจุดที่บอกได้ว่า “ในที่สุด เราก็เข้าใจ บทพิสูจน์บทนี้แล้ว” Obviously!

เกริ่มนำมานาน ขอเริ่มละนะ

บทพิสูจน์มาจาก บทพิสูจน์ ของ D. Hilbert (1893) แปลและสรุปเพิ่มเติมโดย M. Ross (2018) จากยูทูปชาเนล Mathologer

Proof Structure

สิ่งนี้เป็นสิ่งหนึ่งที่เรียนรู้จากการอ่าน proof มาหลายๆรอบ พึ่งเข้าใจจริงๆว่า บทพิสูจน์ต่างๆ ไม่ได้เกิดจากจากอากาศ หรือ เสกขึ้นมา แต่มาจากการออกแบบมาเป็นอย่างดี เพื่อให้ได้ arguments ที่สอดคล้องกับสิ่งที่ต้องการพิสูจน์

ดังนั้นก่อนที่ไปดูรายละเอียดของบทพิสูจน์ อยากจะขอมาทำความเข้าใจภาพรวมกันก่อน

โดยรวมแล้ว บทพิสูจน์ $\pi$ is transcendental เริ่มจากนิยาม นั้นคือ $\pi$ จะไม่เป็นคำตอบของสมการพนุนามดีกรีใดๆ ที่มี coefficents เป็นจำนวนเต็ม เขียนเป็นนิพจน์คณิตศาสตร์ ได้ว่า

\[\forall a_0, a_1, ...a_n \in \mathbb{Z}, a_0 \mathrel{\char`≠} 0 \\ \tag{1} a_0 + a_1 \pi + a_2\pi^2 + ... + a_n \pi^n \mathrel{\char`≠} 0\]

ซึ่งเราจะพิสูจน์นิจน์นี้ ด้วยเทคนิค Proof by Contradiction นั้นคือ

สมมติให้ นิเสธของ (1) เป็นจริง แล้วจะทำให้เกิดข้อขัดแย้ง (contradiction) บางอย่าง แปลว่า เราไม่สามารถทำให้มันเป็นจริงได้ = นิพจน์ (1) เป็นจริง⁵

นั้นคือ เราจะกำหนดให้

\[\exists a_0, a_1, ...a_n \in \mathbb{Z}, a_0 \mathrel{\char`≠} 0 \\ \tag{2} a_0 + a_1 \pi + a_2\pi^2 + ... + a_n \pi^n = 0\]

โดยเรียกสมการด้านบนด้วย

\[\tag{3} p(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n\] \[\tag{4} p(\pi) = 0\]

ต่อมา เราสามารถสร้าง

\[\tag{5} q(x) = p(ix)p(-ix)\]

โดยที่ $q(x)$ ก็เป็น integer polynomial เช่นกัน แต่จะแสดงต่อไปว่า $q(x)$ ไม่สามารถสร้างได้ ดังนั้น $p(x)$ ก็จะไม่มีอยู่จริง

แต่ แต่ แต่ $q(x)$ ที่ว่า เป็น integer polynomial จริงๆรึปล่าวนะ??

กำหนดให้ $$ p(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n $$ หรือ เขียนอีกแบบได้ว่า $$p(x) = \sum_{k=0}^{n} a_k x^k \text{ with } a_k \in \mathbb{Z}$$ จะได้ว่า $$p(ix) = \sum_{k=0}^{n} a_k i^k x^k $$ และ $$p(-ix) = \sum_{l=0}^{n} a_l i^l (-1)^l x^l $$ นั้นคือ $$q(x) = p(ix)p(-ix) = (\sum_{k=0}^{n} a_k i^k x^k) * (\sum_{l=0}^{n} a_l i^l (-1)^l x^l)$$ ถ้ากระจายพจน์ออกมาก จะได้ว่า q(x) จะมีทั้งหมด 2n พจน์ โดยแต่ละพจน์ xᵏ เกิดจาก ผลรวมจากการคูณของพจน์ย่อยที่ดีกรี รวมกันเท่ากับ k

ตัวอย่าง กำหนด s(x) และ r(x) ดังนี้ $$s(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 1$$ และ $$r(x) = x^3 + 2x^2 + 5x + 3$$ จะได้ว่า s(x)r(x) เป็นพหุนามดีกรี 6 และ ถ้าพิจารณาพจน์ x⁴ จะเห็นว่า มันเกิดจาก $$\begin{array}{rcl} c_4 x^4 & = & (2x^3)(5x) + (-3x^2)(2x^2) + (x)(x^3) \\ & = & (2*5 + (-3)*2 + 1*1)x^4 \end{array}$$

ดังนั้น จึงสรุปได้ว่า $$q(x) =\sum_{k=0}^{2n} c_k x^k $$

Note: k มีค่าตั้งแต่ 0 ถึง 2n โดยที่ cₖ ซึ่งเกิดจากคู่พจน์ใดๆที่ดีกรีรวมกันได้ k

พิจารณา คำนวน cₖ

ลองพิจารณาตามดัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่าง ในกรณีที่ ถ้า n=4 และ k=3 จะได้ว่า c₃ เกิดจาก {(a₀, b₃x³), (a₁x, b₂x²), (a₂x², b₁x), (a₃x³, b₃)}

ตัวอย่าง ในกรณีที่ ถ้า n=4 และ k=5 จะได้ว่า c₅ เกิดจาก { (a₀, b₅x⁵), (a₁x, b₄x⁴), (a₂x², b₃x³), (a₃x³, b₂x²), (a₄x⁴, b₁x), (a₅x⁵, b₀) }

แต่ทั้งนี้ เนื่องจาก n = 4 ดังนั้น aₖ, bₖ ที่ k > 4 จึงไม่มีอยู่จริง

ดังนั้น c₅ จึงควรเกิดจาก {(a₁x, b₄x⁴), (a₂x², b₃x³), (a₃x³, b₂x²), (a₄x⁴, b₁x)}

จะได้ว่า $$ c_k = \sum_{l} (a_l) (b_{k-l}) $$ โดย 0 ≤ l ≤ n กรณีที่ 0 ≤ k ≤ n
และ 0 ≤ k-l ≤ n หรือ n-k ≤ l ≤ k กรณีที่ n < k ≤ 2n

หรือก็คือ $$ c_k = \sum_{l=max(0, k-n)}^{min(n, k)} (a_l) (b_{k-l}) $$ ทั้งนี้ ถ้ากำหนดให้ $$ \forall k > 2n, a_k, b_k = 0 $$ จะสามารถ simplify cₖ ได้ โดยไม่สูญเสียนัยทั่วไป (WLOG;without loss of generality) ดังนี้ $$ c_k = \sum_{l=0}^{k} (a_l) (b_{k-l}) $$

จากตัวอย่างข้างต้น จะได้ว่า $$\begin{array}{rcl} c_k & = & \sum_{l=0}^{k} (a_l i^l) (a_{k-l} i^{k-l} (-1)^{k-l})\\\\ & = & (i^k) \sum_{l=0}^{k} (a_l) (a_{k-l} (-1)^{k-l}) \end{array}$$ เมื่อพิจารณา แต่ละพจน์ cₖ สามารถแบ่งได้เป็น 2 กลุ่ม คือ

1. ถ้า k เป็นเลขคู่ พจน์ i จะหายไปเป็น ±1

2. ถ้า k เป็นเลขคี่

พิจารณา $$ \tag{5.1} c_k = (i) \sum_{l=0}^{k} (a_l) (a_{k-l} (-1)^{k-l}) $$ จัดรูป โดยให้ (-1)ᵏ⁻ˡ = (-1)ᵏ(-1)ˡ จะได้ว่า $$ \tag{5.2} c_k = (-i) \sum_{l=0}^{k} (a_l) (a_{k-l} (-1)^{l}) $$ และ ถ้าเปลี่ยนตัวแปร l เป็น m = k-l จาก (5.1) จะได้ว่า $$ \tag{5.3} c_k = (i) \sum_{m=0}^{k} (a_{k-m}) (a_{m} (-1)^{m})$$ เนื่องจาก l เป็นตัวแปรจาก 0 ถึง k
จะได้ว่า m เป็นตัวแปรจาก k ถึง 0 (หรือ กลับกัน 0 ถึง k)

จาก (5.2) และ (5.3) จะได้ว่า $$ c_k = - c_k $$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้ ยกเว้น cₖ = 0

นั้นคือ เมื่อ k เป็นเลขคี่ cₖ = 0 เสมอ

แปลว่า q(x) จะไม่มีพจน์ที่มี coefficeint ที่มี i เลย

แปลว่า ถ้า p(x) เป็น integer polynomial แล้ว q(x) เป็น integer polynomial เช่นกัน □

Step 1 Finding Contradiction target

เพื่อที่จะแสดงว่า $q(x)$ ไม่มีอยู่จริง สิ่งที่เราต้องเตรียม คือ หาจุดที่จะทำให้เกิดข้อขัดแย้ง

เริ่มต้นจาก (5) $q(x) = p(ix)p(-ix)$ และ (4) $p(\pi) = 0$ จะได้ว่า

\[\begin{array}{rcl} q(i\pi) & = & p(i*i\pi)p(-i*i\pi)\\\\ & = & p(-\pi)p(\pi)\\\\ & = & 0 \end{array}\]

แปลว่า $i\pi$ เป็นหนึ่งในคำตอบของ $q(x)$

ถ้าให้ $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n \in \mathbb{C}$ เป็นคำตอบทั้งหมดของสมการ $q(x)=0$

จะสามารถจัดรูปแบบของ $q(x)$ ใหม่เป็น

\[\tag{6} q(x) = a(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)...(x-\alpha_n), a \mathrel{\char`≠} 0\]

โดยที่ $a \in \mathbb{Z}$ และกำหนดให้ $\alpha_1 = i\pi$

จาก Euler’s identity $e^{i\pi}+1 = 0$ จะได้ว่า

\[\tag{7} (1+e^{\alpha_1})(1+e^{\alpha_2})...(1+e^{\alpha_n}) = 0\]

เมื่อกระจายพจน์ออกมา จะได้ว่า

\[\tag{8} e^{\beta_1} + e^{\beta_2}+ ... + e^{\beta_{2^n}} = 0\]

โดยที่ $\{\beta_i\}$ เท่ากับ all combinations ที่เป็นไปได้ของ $\{\alpha_i\}$

ตัวอย่าง $$\begin{array}{rcl} (1+e^2)(1+e^5) & = & (1(1) + 1(e^5) + e^2(1) + e^2(e^5))\\\\ & = & 1^{sum(\phi)} + e^{sum(\{2\})} + e^{sum(\{5\})} + e^{sum(\{2, 5\})}\\\\ & = & 1 + e^2 + e^5 + e^7 \end{array}$$

เนื่องจาก $\beta_i$ เกิดจากผลรวมของ any combination ของ $\alpha_i$ ซึ่งอาจจะมีค่าได้ทั้ง 0 และ ไม่เป็น 0

ถ้ากำหนดให้ $\beta_1, \beta_2, ..., \beta_m$ เป็นเฉพาะ $\beta$ ที่ไม่ใช่ 0 จะได้ว่า

\[\tag{9} r + e^{\beta_1} + e^{\beta_2}+ ... + e^{\beta_m} = 0\]

โดยที่ $r = 2^n - m$ และ $r > 0$ เนื่องจาก มีอย่างน้อย 1 $\beta$ ที่เป็น 0 ซึ่งเกิดจาก empty combination (a.k.a sum($\phi$))

Note:

$$\alpha_i$$ และ $$\beta_i$$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน (complex number)

ต่อไป เราจะประมาณ $e^{\beta_k}$ โดยให้

\[e^{\beta_k} = \frac{N_k + \delta_k}{N}\]

โดย $N \in \mathbb{Z}$ จะเป็นจำนวนเต็ม

และ $N_k \in \mathbb{C}$, $\delta_k ≈ 0$ เป็นค่าเล็กๆค่านึงใกล้ๆ 0

ซึ่งจะทำให้สมการ (9) เปลี่ยนไป

\[\begin{array}{rcl} r + e^{\beta_1} + e^{\beta_2}+ ... + e^{\beta_m} & = & 0\\\\ r + \frac{N_1 + \delta_1}{N} + \frac{N_2 + \delta_2}{N}+ ... + \frac{N_m + \delta_m}{N} & = & 0 \\\\ rN + (N_1+N_2+...+N_m)+ (\delta_1+\delta_2+...+\delta_m) & = & 0 \end{array}\]

สรุปได้ว่า

\[\tag{10} rN + (N_1+...+N_m)+ (\delta_1+...+\delta_m) = 0\]

ถ้าสามารถออกแบบ $N$, $N_k$ และ $delta_k$ ที่ทำให้

rN + (N₁+…+Nₘ) ≠ 0
(δ₁+…+δₘ) ≈ 0

หรือก็ คือ ผลรวมของส่วนที่ rN + (N₁+…+Nₘ) ไม่เป็น 0 และ (δ₁+…+δₘ) จะไม่สามารถไปหักล้าง ส่วนที่เหลือจนเป็น 0 ได้ จะได้ว่า

\[\tag{11} rN + (N_1+...+N_m)+ (\delta_1+...+\delta_m) \mathrel{\char`≠} 0\]

และเนื่องจาก (10) และ (11) เป็นจริงพร้อมกันไม่ได้ เท่ากับว่า เราได้ข้อขัดแย้งที่ต้องการแล้ว…

Note: อย่าลืมว่า ตอนนี้ยังไม่เสร็จสิ้นนะ เพราะเรายังไม่มี N, Nₖ และ δₖ ที่มีคุณสมบัติตามที่เราต้องการ

Step 2 Define N, Nₖ และ δₖ

ทบทวนเงื่อนไขของ $N$, $N_k$ และ $delta_k$ กันอีกครั้ง

N เป็นจำนวนเต็ม ที่ไม่เท่ากับ 0

\[\tag{cond 1} N \in \mathbb{Z}, N \mathrel{\char`≠} 0\]

$N$, $N_k$ และ $delta_k$ ต้องทำให้ความสัมพันธ์เหล่านี้เป็นจริง

\[\tag{cond 2} e^{\beta_k} = \frac{N_k + \delta_k}{N}\] \[\tag{cond 3} rN + (N_1+N_2+...+N_m) \mathrel{\char`≠} 0\] \[\tag{cond 4} \delta_1+\delta_2+...+\delta_m \approx 0\]

แรงบันดาลใจ

เพื่อออกแบบ $N$, $N_k$ และ $\delta_k$ ให้ได้ตามเงื่อนไขข้างต้น ในบทพิสูจน์ต้นฉบับ (น่าจะ)ได้หยิบยืมแรงบรรดาลใจมาจาก Tayler Expansion ของ function $e^x$

\[\begin{array}{rcl} e^x & = & \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \\\\ & = & \frac{x^0}{0!} + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ... \\\\ & = & \frac{1 + x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ... \\\\ & = & \frac{2 + 2x + x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ... \\\\ & = & \frac{6 + 6x + 3x^2 + x^3}{3!} + \frac{\delta}{3!} \end{array}\]

จะเห็นได้ว่า $e^{x}$ สามารถจัดอยู่ในรูปแบบคล้ายๆกับสิ่งที่เราต้องการได้

\[e^{x} = \frac{N(x) + \delta(x)}{p!}\]

เราพออนุมาณได้ว่า เราควรนิยาม $N = p!$

ทั้งนี้ทั้งนั้น เนื่องจากเราคำนวนอยู่กับ complex number ตัวเลือกที่ดีกว่าของ $p!$ คือ Gamma function โดยมีนิยามดังนี้

\[\begin{array}{rcl} \Gamma(z+1) & = & \int_{0}^{\infty} e^{-t}t^{z} dt \\\\ & = & z! \end{array}\]

ออกแบบ N

จากแรงบันดาลใจข้างต้น D. Hilbert จึงเลือกใช้ N ตามนิยามต่อไปนี้

\[\tag{12} N = \frac{1}{(p-1)!} \int_{0}^{\infty} e^{-z} f(z) dz\]

โดยที่

\[\tag{13} f(z) = z^{p-1} g^p(z)\]

และ $g(z)$ เป็น integer polynomial ที่จะนิยามเพิ่มเติมต่อไป และ p คือ จำนวนเฉพาะขนาดใหญ่ตัวนึง ที่จะนิยามเงื่อนไขต่อไปเช่นกัน

ที่น่าสนใจ คือ เนื่องจาก กำหนดให้ $g(z)$ เป็น integer polynomial จะได้ว่า $f(z)$ เป็น integer polynomial เช่นกัน สามารถเขียนแทนด้วย

\[\tag{14} f(z) = \sum_{k=0}^{n} b_k z^k, b_0 \mathrel{\char`≠} 0\]

Note:

ถ้า $$b_0 = 0 $$ แปลว่า เราสามารถหาร $$f(z)$$ ด้วย z แล้วก็จะได้ $$b_1 \mathrel{\char`≠} 0 $$ แทน $$b_0 $$ นั้นคือ ใน $$f(z)$$ ที่เป็น integer polynomial จะจัดรูปให้มี $$b_0 \mathrel{\char`≠} 0 $$ ได้เสมอ

แทนค่า $f(z)$ จาก (14) ลงใน (12) จะได้ว่า

\[\begin{array}{rcl} \int_{0}^{\infty} e^{-z} f(z) dz & = & \int_{0}^{\infty} e^{-z} z^{p-1}(\sum_{k=0}^{n} b_k z^k) dz \\\\ & = & \sum_{k=0}^{n} b_k (\int_{0}^{\infty} e^{-z} z^{k+p-1} dz) \\\\ & = & \sum_{k=0}^{n} b_k (k+p-1)! \\\\ \end{array}\]

ดังนั้น

\[\begin{array}{rcl} N & = & \frac{1}{(p-1)!} \sum_{k=0}^{n} b_k (k+p-1)! \\\\ & = & \frac{1}{(p-1)!} [b_0*(p-1)! + b_1*(p)! + b_2*(p+1)! + ... + b_n*(n+p-1)!] \\\\ & = & b_0 + b_1*(p) + b_2*(p+1)(p) + ... + b_n*(n+p-1)(n+p)(...)(p) \\\\ & = & b_0 + (p)(b_1* + b_2*(p+1) + ... + b_n*(n+p-1)(n+p)(...)(p-1)) \\\\ \end{array}\]

Note: assume k ≥ 0 หรือ g(z) เป็น integer polynomial ดีกรีมากว่า 0

จากสมการข้างต้น สามารถจัดรูปได้เป็น

\[N = b_0 + p * (SOME\:INTEGER)\]

เนื่องจาก bₖ, p ทั้งหมดต่างเป็นตำนวนเต็ม จะได้ว่า N ก็เป็นจำนวนเต็มเช่นกัน

\[\tag{15} N \in \mathbb{Z}\]

และ เนื่องจากเราสามารถเลือก p เป็นจำนวนเฉพาะอะไรก็ได้ ดังนั้น

“ถ้าเลือก p เป็นจำนวนเฉพาะที่ใหญ่กว่า b₀”

จะได้ว่า $p \nmid b_0$ ทำให้ N เป็นจำนวนเต็มที่ไม่สามารถหารได้ด้วย p ลงตัว

\[\tag{15.1} p \nmid N\]

นอกจากนี้ เนื่องจาก b₀ ≠ 0 จะได้ว่า N ไม่เท่ากับ 0 (พิสูจน์ได้ด้วย contradiction)

\[\tag{15.2} N \mathrel{\char`≠} 0\]

และ ถ้าเลือก p เป็นจำนวนเฉพาะที่ใหญ่กว่า r (และใหญ่กว่า b₀)

จะได้ว่า rN เป็นจำนวนเต็มที่ไม่สามารถหารได้ด้วย p ลงตัว //จะมีประโยชน์ในตอนที่จะทำให้ (cond 3) เป็นจริง

\[\tag{15.3} p \nmid rN\]

จากทั้งหมด สรุปได้ว่า

N จะต้องเป็นจำนวนเต็ม ที่ไม่เท่ากับ 0

ตรงตาม (cond 1) ✅

ออกแบบ Nₖ และ δₖ

เพื่อเป็นไปตามเงื่อนไขที่ต้องการ D. Hilbert เลือกใช้

\[\tag{16} N_k = \frac{e^{\beta_k}}{(p-1)!} \int_{\beta_k}^{\infty} e^{-z} f(z) dz\] \[\tag{17} \delta_k = \frac{e^{\beta_k}}{(p-1)!} \int_{0}^{\beta_k} e^{-z} f(z) dz\]

สังเกตได้ว่า $N_k$ และ $\delta_k$ มาจากการแบ่ง Limits of integration เป็น 2 ส่วน แค่นั้นเอง

ทั้งนี้ทั้งนั้น จะเห็นได้ว่า

\[\begin{array}{rcl} \delta_k + N_k & = & \frac{e^{\beta_k}}{(p-1)!} (\int_{0}^{\beta_k} e^{-z} f(z) dz + \int_{\beta_k}^{\infty} e^{-z} f(z) dz) \\\\ & = & \frac{e^{\beta_k}}{(p-1)!} (\int_{0}^{\infty} e^{-z} f(z) dz) \\\\ & = & e^{\beta_k} N \\\\ \end{array}\]

ตรงตาม (cond 2) ✅

แต่ แต่ แต่ สมการข้างต้นถูกต้อง เฉพาะในกรณีที่เราใช้ $\beta_k$ เป็นจำนวนจริงเท่านั้น แต่ในกรณีนี้ $\beta_k$ สามารถเป็นจำนวนเชิงซ้อนได้ วิธีการข้างต้นจึงไม่ถูกต้องซะทีเดียว

สารภาพเลยว่า ส่วนตัวไม่ค่อยรู้เรื่อง Integration บนระบบจำนวนเชิงซ้อนมาก คำอธิบายส่วนใหญ่ในส่วนนี้ จะเอามาจาก ChatGPT + อ่านเองเพิ่มเติม ซึ่งอาจจะมีส่วนผิดอยู่บ้าง //ขออภัยไว้ล่วงหน้า

ถ้าเป็น Integration บนระบบจำนวนจริง การแบ่ง Limits of integration สามารถทำได้เลย โดยไม่มีปัญหาอะไร เนื่องจากระบบมีลักษณะเป็น 1 มิติ นั้นคือ มีเส้นทางที่เป็นไปได้แค่เส้นเดียวจากจุด A ไป B

แต่ในระบบจำนวนเชิงซ้อน เนื่องจากระบบมีลักษณะเป็น 2 มิติ มีเส้นทางที่เป็นไปได้มากกว่า 1 เส้นจากจุด A ไป B

แปลว่า เราต้องระบุอย่างชัดเจนว่า Nₖ และ δₖ มาจาก intregration จาก path ไหน (หรือ path independence) และมันยังให้ความสัมพันธ์เดิมแบบที่เราต้องการหรือไม่

กลับมาที่นิยามเดิม $$ N_k = \frac{e^{\beta_k}}{(p-1)!} \int_{\beta_k}^{\infty} e^{-z} f(z) dz $$ กำหนดให้ Nₖ เป็น integrate จาก เส้นนอนตรงๆ จาก βₖ ถึง +∞ (along the horizontal line from βₖ to +∞) $$ \delta_k = \frac{e^{\beta_k}}{(p-1)!} \int_{0}^{\beta_k} e^{-z} f(z) dz $$ กำหนดให้ δₖ เป็น integrate จาก เส้นรัศมีจาก 0 ถึง βₖ (along the radial path from 0 to βₖ)

พิสูจน์

กำหนดให้มี path γ เป็นเส้นทางปิด (a closed contour) จาก 0 ถึง βₖ ถึง βₖ+T ถึง T แล้วกลับมาที่ 0 ตามรูป

จาก Cauchy’s theorem

ถ้า φ(z) เป็นฟังก์ชั่นที่ analytic (holomorphic) ทุกๆที่ภายในและบนเส้นทางปิด C ใดๆ (inside and on a simple closed contour C) แล้ว $$ \oint_{C} \phi(z)dz = 0 $$

เนื่องจาก

$$ e^{-z} f(z) $$ เป็นฟังก์ชั่นที่ analytic ทุกๆที่บน $$ \mathbb{C}$$ ดังนั้น

เขียนได้ว่า $$ \oint_{\gamma} e^{-z} f(z) dz = 0 $$ แปลว่า $$ \int_{0}^{T} e^{-z} f(z) dz + \int_{T}^{\beta_k+T} e^{-z} f(z) dz = \int_{0}^{\beta_k} e^{-z} f(z) dz + \int_{\beta_k}^{\beta_k+T} e^{-z} f(z) dz $$ เมื่อใส่ลิมิต T เข้าใกล้ +∞ จะได้ว่า $$ \int_{0}^{\infty} e^{-z} f(z) dz = \int_{0}^{\beta_k} e^{-z} f(z) dz + \int_{\beta_k}^{\infty} e^{-z} f(z) dz $$ เพิ่มค่าคงที่ และจัดรูปนิดหน่อย $$ \frac{e^{\beta_k}}{(p-1)!} \int_{0}^{\infty} e^{-z} f(z) dz = \frac{e^{\beta_k}}{(p-1)!} \int_{0}^{\beta_k} e^{-z} f(z) dz + \int_{\beta_k}^{\infty} e^{-z} f(z) dz $$ จัดรูปอีกครั้ง $$ e^{\beta_k} N = \delta_k + N_k $$

ตรงตาม (cond 2) แม้ว่าจะใช้งานบนระบบจำนวนเชิงซ้อน □

คุณสมบัติของ Nₖ

ทบทวนนิยามของ Nₖ กันอีกครั้ง

จาก (16)

\[N_k = \frac{e^{\beta_k}}{(p-1)!} \int_{\beta_k}^{\infty} e^{-z} f(z) dz\]

จาก (13)

\[f(z) = z^{p-1} g^p(z)\]

โดยมี $g(z)$ เป็น integer polynomial ที่มีดีกรีมากกว่า 0

ถึงเวลาที่จะกลับมานิยาม $g(z)$ กันแล้ว

ตามต้นฉบับ D.Hilbert เลือกใช้

\[\tag{18} g(z) = a^m (z-\beta_1)(z-\beta_2)...(z-\beta_m)\]

โดยใช้ a, m, $\{\beta_i\}$ จาก (6) และ (9)

ส่วนตัวมีความเห็นว่า ส่วนนี้เป็นส่วนที่งงที่สุดในบทพิสูจน์นี้เลยทีเดียว ส่วนนึงเพราะ เขาใช้สิ่งที่เรียกว่า the elementary symmetric polynomials ซึ่งนี่ไม่เคยรู้จักมาก่อน ทั้งๆที่เป็นคอนเซปที่เรียบง่ายมากๆ

ขอย้อนกลับไปดูนิยามของ q(x) ใน (6) $$q(x) = a(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)...(x-\alpha_n) $$ ซึ่งสามารถกระจายออกมาได้เป็น $$ \begin{array}{rcl} q(x) & = & ax^n \\\\ & - & a(\alpha_1+\alpha_2+...+\alpha_n)x^{n-1} \\\\ & + & a(\alpha_1\alpha_2+\alpha_1\alpha_3+...+\alpha_2\alpha_3+...+\alpha_{n-1}\alpha_n)x^{n-2}\\\\ & - & a\sum_{1\le i\lt j\lt k\le n}(\alpha_i\alpha_j\alpha_k) x^{n-2} \\\\ & + & ... \\\\ & + & (-1)^n a(\alpha_1\alpha_2...\alpha_n) \\\\ \end{array} $$

ตัวอย่าง กำหนด q(x) มี α₁, α₂ และ α₃ เป็นคำตอบของสมการ จะได้ว่า $$\begin{array}{rcl} q(x) & = & (x-\alpha_1)(x-\alpha_2)(x-\alpha_3) \\\\ & = & (x^2-\alpha_2x-\alpha_1x+\alpha_1\alpha_2)(x-\alpha_3) \\\\ & = & (x^3-\alpha_2x^2-\alpha_1x^2+\alpha_1\alpha_2x-\alpha_3x^2+\alpha_2\alpha_3x+\alpha_1\alpha_3x+\alpha_1\alpha_2\alpha_3) \\\\ & = & (x^3-(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3)x^2+(\alpha_1\alpha_2+\alpha_2\alpha_3+\alpha_1\alpha_3)x+(\alpha_1\alpha_2\alpha_3)) \end{array}$$

แก้ไขปรับให้ดูสวยงามขึ้น ดังนี้ $$ \begin{array}{rcl} q(x) & = & a(x^n - e_1 x^{n-1} + e_2 x^{n-2}-...+(-1)^n e_n) \\\\ e_1 & = & \sum_{1\le i \le n} \alpha_i \\\\ e_2 & = & \sum_{1\le i \lt j \le n} \alpha_i\alpha_j \\\\ ... \\\\ e_n & = & \alpha_1\alpha_2...\alpha_n \\\\ \end{array} $$ โดยเราจะเรียกเจ้า {e₁, e₂, ..., eₙ} คือ the elementary symmetric polynomials ของคัวแปร {α₁, α₂, ..., αₙ}

ซึ่งเจ้าสิ่งนี้ มีคุณสมบัติพิเศษ คือ ถึงแม้ว่าจะสลับ {αᵢ} ยังไง ก็จะได้ {eᵢ} เหมือนเดิมเสมอ (สมมาตรบน {αᵢ})!!

แต่ที่สำคัญกว่า คือ เนื่องจากเรานิยามว่า q(x) เป็น integer polynomial แปลว่า coefficient ทุกตัวของ q(x) จะต้องเป็นจำนวนเต็ม แปลว่า $$ \tag{18.1} {e_1, e_2, ..., e_n} \in \mathbb{Z}$$ นอกจากนี้ จาก the Fundamental Theorem of Symmetric Polynomials (FTSP)

พหุนามสมมาตรใดๆ (symmetric polynomial) ใน $$\{\alpha_i\}$$ ​สามารถเขียนใหม่ได้ ให้อยู่ในรูปของพหุนามสมมาตรเชิงมูลฐาน (the elementary symmetric polynomials) $$\{e_i\}$$

ตัวอย่าง กำหนด q(x) มี α₁, α₂ และ α₃ เป็นคำตอบของสมการ ต้องการหา $$\alpha_1^2+\alpha_2^2+\alpha_3^2$$

จะเห็นว่า $$\alpha_1^2+\alpha_2^2+\alpha_3^2$$ เป็น symmetric polynomial เนื่องจาก ถ้าสลับ ($$\alpha_i$$, $$\alpha_j$$) ใดๆ ก็ไม่ทำให้สมการเปลี่ยนไป

ถ้าให้ e₁, e₂ และ e₃ เป็น the elementary symmetric polynomials ของ α จะได้ว่า $$ e_1 = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3$$ $$ e_2 = \alpha_1\alpha_2 + \alpha_1\alpha_3 + \alpha_2\alpha_3$$ $$ e_3 = \alpha_1\alpha_2\alpha_3$$ ดังนั้น $$ \begin{array}{rcl} e_1^2 & = & (\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3)^2 \\\\ & = & \alpha_1^2+\alpha_2^2+\alpha_2^2 + 2(\alpha_1\alpha_2 + \alpha_1\alpha_3 + \alpha_2\alpha_3) \\\\ & = & \alpha_1^2+\alpha_2^2+\alpha_2^2 + 2(e_2) \\\\ \alpha_1^2+\alpha_2^2+\alpha_2^2 & = & e_1^2 - 2e_2 \end{array} $$

ย้อนกลับมาดูที่ฟังก์ชั่นต้นเรื่อง g(z) จาก (18) $$ g(z) = a^m (z-\beta_1)(z-\beta_2)...(z-\beta_m)$$ จะเห็นว่า g(z) มีความสมมาตรบน {βᵢ} เนื่องจาก ถึงแม้ว่าเราจะสลับ (βᵢ, βⱼ) ใดๆ ก็ไม่ทำให้สมการเปลี่ยนไป

และ เพราะว่า {βᵢ} เกิดจาก "ผลรวมของ any combination ของ αᵢ" ก็สรุปได้ว่า g(z) มีความสมมาตรบน {αᵢ} ด้วยเหมือนกัน

ดังนั้น coefficents ของ g(z) ก็จะถือว่าเป็น symmetric polynomial บน {αᵢ} ทำให้สามารถใช้ FTSP ได้ว่า

coefficents ของ g(z) จะต้องอยู่ในรูปของพหุนามของ the elementary symmetric polynomials ของ {αᵢ}

และจาก (18.1) ซึ่งบอกว่า the elementary symmetric polynomials ของ {αᵢ} เป็นจำนวนเต็ม จะได้ว่า coefficents ของ g(z) ก็ต้องเป็นจำนวนเต็มเช่นกัน

ทั้งหมดนี้ ไม่ได้บอกว่า {αᵢ} หรือ {βᵢ} เป็นจำนวนเต็มนะ แต่บอกแค่ว่า coefficents ของ g(z) ซึ่งเกิดจาก {βᵢ} มายำรวมๆกัน จะต้องลงเอยเป็นจำนวนเต็ม เช่น {βᵢ} อาจจะเป็น {β₁ = π+4, β₂ = π²} และ cₖ = (β₁*β₁-β₂-8β₁) เมื่อเราบวกลบๆแล้ว จะได้ว่า cₖ = 64

จากทั้งหมดนี้ จึงสรุปได้ว่า g(z) จะต้องเป็น integer polynomial □

กลับมาพิจารณา $N_k$ ต่อ

\[N_k = \frac{e^{\beta_k}}{(p-1)!} \int_{\beta_k}^{\infty} e^{-z} f(z) dz\]

จัดรูป $N_k$

\[N_k = \frac{1}{(p-1)!} \int_{\beta_k}^{\infty} e^{\beta_k-z} f(z) dz\]

แทน $w = \beta_k-z$ จะได้ว่า

\[N_k = \frac{1}{(p-1)!} \int_{0}^{\infty} e^{w} f(w+\beta_k) dw\]

พิจารณา $f(w+\beta_k)$ จาก (13) และ $g(w+\beta_k)$ จาก (18)

\[\begin{array}{rcl} f(w+\beta_k) & = & (w+\beta_k)^{p-1} g^p(w+\beta_k) \\\\ & = & (w+\beta_k)^{p-1} (a^m \prod_{i=1}^{m}(w + \beta_k -\beta_i))^p \\\\ & = & (w+\beta_k)^{p-1} a^{mp} w^p \prod_{i=1, i \mathrel{\char`≠} k}^{m}(w + \beta_k -\beta_i) \\\\ \end{array}\]

จากการจัดรูป และแทน $f(w+\beta_k) = w^p F(w, \beta_k)$ จะได้ว่า

\[\begin{array}{rcl} N_k & = & \frac{1}{(p-1)!} \int_{0}^{\infty} e^{w} f(w+\beta_k) dw \\\\ & = & \frac{1}{(p-1)!} \int_{0}^{\infty} e^{w} w^p F(w, \beta_k) dw \\\\ \end{array}\]

ปัญหา คือ ถึงแม้ว่า $F(w, \beta_k)$ จะเป็น polynomial แต่มัน(อาจจะ)ไม่ใช่ integer polynomial เราจึงไม่สามารถสรุปได้เหมือน (15)

เพื่อแก้ปัญหานี้ ขอย้อนกลับไปที่จุดตั้งต้น ที่ (cond 3)

สิ่งที่เราต้องการพิสูจน์ คือ

\[rN + (N_1+N_2+...+N_m) \mathrel{\char`≠} 0\]

แปลว่า สิ่งที่เราสนใจ คือ $N_1+N_2+...+N_m$ ไม่ใช่แค่ $N_k$

แทนค่า $f(w+\beta_k)$ ไปอีกครั้ง จะได้ว่า

\[\begin{array}{rcl} N_1+N_2+...+N_m & = & \sum_{k=1}^{m} \frac{1}{(p-1)!} \int_{0}^{\infty} e^{w} f(w+\beta_k) dw \\\\ & = & \frac{1}{(p-1)!} \int_{0}^{\infty} e^{w} \{\sum_{k=1}^{m} f(w+\beta_k)\} dw \\\\ & = & \frac{1}{(p-1)!} \int_{0}^{\infty} e^{w} h(w) dw \\\\ \end{array}\]

โดยมี

\[\begin{array}{rcl} h(w) & = & \sum_{k=1}^{m} f(w+\beta_k) \\\\ & = & \sum_{k=1}^{m} w^p F(w, \beta_k) \\\\ & = & w^p (\sum_{k=1}^{m} F(w, \beta_k))\\\\ & = & w^p H(w) \end{array}\]

ถึงแม้ว่า $F(w+\beta_k)$ แค่อย่างเดียว ไม่ได้สมมาตรบน {βᵢ}⁶ แต่ $H(w) = \sum_{k=1}^{m} F(w, \beta_k)$ สมมาตรบน {βᵢ}

เราจึงสามารถใช้เหตุผลแบบเดียวกับที่พิสูจน์ว่า $g(z)$ เป็น integer polynomial จะได้ว่า $H(w)$ ก็เป็น integer polynomial เช่นกัน

จึงจะสรุปได้ว่า

\[\tag{19} H(w) = \sum_{k=0}^{n} c_k w^k\]

แทนกลับ

\[\begin{array}{rcl} N_1+N_2+...+N_m & = & \frac{1}{(p-1)!} \int_{0}^{\infty} e^{w} h(w) dw \\\\ & = & \frac{1}{(p-1)!} \int_{0}^{\infty} e^{w} w^p H(w) dw \\\\ & = & \frac{1}{(p-1)!} \sum_{k=0}^{n} \int_{0}^{\infty} e^{w} w^p (c_k w^k) dw \\\\ & = & \frac{1}{(p-1)!} (\sum_{k=0}^{n} c_k (p+k)!) \\\\ & = & \frac{p!}{(p-1)!} (c_0 + c_1(p+1) + c_2(p+2)(p+1) + ...+ c_n(p+n)(...)(p+1))\\\\ & = & p (c_0 + c_1(p+1) + c_2(p+2)(p+1) + ...+ c_n(p+n)(...)(p+1)) \end{array}\]

เนื่องจาก $c_k$, p ทั้งหมดต่างเป็นตำนวนเต็ม จะได้ว่า $N_1+N_2+...+N_m$ ก็เป็นจำนวนเต็มเช่นกัน

\[\tag{20} N_1+N_2+...+N_m \in \mathbb{Z}\]

และที่สำคัญ คือ p เป็นตัวประกอบของ $N_1+N_2+...+N_m$

\[\tag{21} p \mid N_1+N_2+...+N_m\]

ย้อนกลับไป (15.3) จะเห็นว่า

\[p \nmid rN\]

กำหนดให้

$$ A = rN, B = N_1+N_2+...+N_m $$

จาก (15.3) และ (21) เราสามารถเขียนได้ว่า $$ p \nmid A $$ $$ p \mid B $$ ถ้าให้ A+B = 0 แปลว่า A = -B

เพราะ

p \mid B $$ ดังนั้น $$p \mid -B $$ และ $$p \mid A

ดังนั้น

A+B \mathrel{\char`≠} 0

สรุป rN + N₁+N₂+...+Nₘ ≠ 0 □

จาก Lemma #4 จึงได้ข้อสรุปว่า rN + N₁+N₂+…+Nₘ ที่ไม่เท่ากับ 0

ตรงตาม (cond 3) ✅

คุณสมบัติของ δₖ

เช่นเดียวกับ Nₖ ขอเริ่มต้นด้วยการทบทวนนิยามของ δₖ กันอีกครั้ง

จาก (17)

\[\begin{array}{rcl} \delta_k & = & \frac{e^{\beta_k}}{(p-1)!} \int_{0}^{\beta_k} e^{-z} f(z) dz \\\\ & = & \frac{1}{(p-1)!} \int_{0}^{\beta_k} e^{\beta_k-z} f(z) dz \end{array}\]

โดยที่ $f(z) = z^{p-1} g^p(z)$ และ $g(z) = a^m \prod_{i=1}^{m}(z - \beta_i)$

สิ่งที่เราต้องการ คือ ประมาณค่าของ $\delta_k$ เพื่อจะบอกว่า $\delta_k \approx 0$

เริ่มต้นจาก กำหนดให้ $M = max(\|\beta_k\|)$ และ เนื่องจากเรา integrate $dz$ จาก $0 \to \beta_k$

จะได้ว่า $0 \le \|z\| \le M$ ดังนั้น $\|z^{p-1}\| \le M^{p-1}$

และ $\|z - \beta_i\| \le 2M$ ดังนั้น $g(z) \le \|a\|^m(2M)^m$

จะได้ว่า

\[\tag{22} f(z) \le M^{p-1}(\|a\|^m(2M)^m)^p\]

ต่อมา เมื่อพิจารณาส่วนของ integration จะได้ว่า $dz: 0 \to \beta_k \le M$ และ $e^{\beta_k-z} \le e^M$

\[\begin{array}{rcl} \delta_k & = & \frac{1}{(p-1)!} \int_{0}^{\beta_k} e^{\beta_k-z} f(z) \\\\ & \le & \frac{M e^M M^{p-1}(|a|^{mp}(2M)^{mp}) }{(p-1)!} \end{array}\]

สิ่งที่เกิดขึ้น คือ

\[\begin{array}{rcl} \delta_k & \le & C \frac{D^{p}}{(p)!} \end{array}\]

โดยที่ $C = e^M$ และ $D = M^{m+1} \|a\|^m (2)^m$

จะเห็นได้ว่า ถ้า $p \to \infty$ แล้ว $\delta_k \to 0$

หรือ พิสูจน์ได้ด้วย the ratio test ดังนี้

\[\begin{array}{rcl} \frac{\delta_{k, p+1}}{\delta_{k, p}} \\\\ & = & \frac{D^{p+1}}{(p+1)!} * \frac{(p)!}{D^{p}} \\\\ & = & \frac{D}{p+1} \\\\ \end{array}\]

ถ้าให้ $p \to \infty$ แล้ว $\frac{\delta_{k, p+1}}{\delta_{k, p}} \to 0$

สรุปได้ว่า $delta_k \approx 0$

แปลว่า

\[\tag{23} \delta_1+\delta_2+...+\delta_m \approx 0\]

จึงได้ข้อสรุปว่า δ₁+δ₂+…+δₘ ค่าเล็กๆค่านึงใกล้ๆ 0

ตรงตาม (cond 4) ✅

สรุป

สรุปจากเนื้อหาทั้งหมด เราเริ่มจาก

นิยาม จำนวนอดิศัย คือ ตัวเลขที่จะไม่เป็นคำตอบของสมการพนุนามดีกรีใดๆ ที่มี coefficents เป็นจำนวนเต็ม
กำหนดให้มีพนุนาม p(x) ที่ทำให้ p(π)=0
จาก p(x) นำไปสู่การนิยาม q(x) = p(ix)p(-ix) และ q(iπ) = 0
นิยาม {α₁, α₂, …, αₙ} เป็นคำตอบของ q(x)=0
นิยาม {β₁, β₂, …, βₘ} เป็น all combinations ที่เป็นไปได้ของ $\{\alpha_i\}$ ที่ไม่เท่ากับ 0
เราพบว่า $r + e^{\beta_1} + e^{\beta_2}+ ... + e^{\beta_{m}} = 0$
เราบอกว่าเราสามารถเปลี่ยน $e^{\beta_k} = \frac{N_k + \delta_k}{N}$
ดังนั้น $rN + (N_1+N_2+...+N_m) + (\delta_1+\delta_2+...+\delta_m) = 0$
นิยาม N, Nₖ และ δₖ โดยมี p เป็นจำนวนเฉพาะที่มากกว่า g(0) และ r
- $N = \frac{1}{(p-1)!} \int_{0}^{\infty} e^{-z} f(z) dz$
- $N_k = \frac{e^{\beta_k}}{(p-1)!} \int_{\beta_k}^{\infty} e^{-z} f(z) dz$
- $\delta_k = \frac{e^{\beta_k}}{(p-1)!} \int_{0}^{\beta_k} e^{-z} f(z) dz$
- $f(z) = z^{p-1} g^p(z)$
- $g(z) = a^m (z-\beta_1)(z-\beta_2)...(z-\beta_m)$
เราพบว่า rN เป็น จำนวนเต็มที่ไม่เท่ากับ 0 และ p หารไม่ลงตัว
เราพบว่า $$(N_1+N_2+...+N_m)$$ เป็นจำนวนเต็มที่ p หารลงตัว
เราพบว่า $$rN + (N_1+N_2+...+N_m) > 0$$
เราพบว่า ถ้าเลือก p ใหญ่ๆ จะทำให้ $(\delta_1+\delta_2+...+\delta_m) \approx 0$
ดังนั้น $rN + (N_1+N_2+...+N_m) + (\delta_1+\delta_2+...+\delta_m) \mathrel{\char`≠} 0$
ข้อ 8. และ 14. ขัดแย้งกัน
q(x) ไม่มีอยู่จริง
p(x) ที่ทำให้ p(π) = 0 ไม่มีอยู่จริง
π เป็นจำนวนอดิศัย □

Final Thought

ในที่สุดก็เขียนจบ เขียนมา 1 วีค เหนื่อยสุดๆ เอาจริงๆ ไม่คิดว่าจะได้เขียนจนจบ เพราะมันซับซ้อนมาก อ่านต้นฉบับทวนอยู่หลายสิบรอบ ดีใจที่ได้เขียน ไว้คราวหน้าจะลองหยิบบทพิสูจน์สนุกๆ(?)มาเขียนอีก

//แล้วเจอกัน ในวันที่มีเวลา

HBD 🎉🎉

ตามรูป คือ Real Algebraic Numbers เพราะว่า เราสนใจเฉพาะตัวเลขที่อยู่ในจำนวนจริง //ไม่นับสิ่งที่อยู่ในจำนวนจินตภาพ/จำนวนเชิงซ้อน
ขอละ "ที่มีสัมประสิทธิ์ (coefficients) เป็นจำนวนเต็ม" ออกไปนะฮะ ให่้เข้าใจว่า เวลาพูดถึง สมการ polynomial จะหมายถึง สมการ polynomial (ที่มีสัมประสิทธิ์ (coefficients) เป็นจำนวนเต็ม) เสมอ
ความเจ็บปวดหนึ่งจากการอ่านเปเปอร์ทางคณิตศาสตร์ คือ ส่วนใหญ่มักจะข้ามบางขั้นตอนไป แล้วแทนด้วย obviously หรือ trivially แต่ฉันไม่สามารถคิดตามสิ่งที่ obviously ของท่านๆทั้งหลายได้
ดูบทสนธนาได้ที่ https://chatgpt.com/share/68b25749-2cc0-800e-ab18-a8791281a39f
เพราะ นิเสธ หรือ นิพจน์ จะต้องเป็นจริง อย่างใดอย่างนึง ตามนิยามของ นิเสธ และ นิพจน์ ในวิชาตรรกศาสตร์ (Logic)
เพราะ F(w+βₖ) มีแค่ βₖ อย่างเดียว ไม่ใช่ symmetric polynomials บน {β} จึงไม่สามารถอ้างโดยใช้ FTSP ได้