TL;DR
หลังจากใช้เวลากว่า 2,000 ปีนับตั้งแต่อาร์คิมีดีสเริ่มรู้จักค่า PI โลกก็พึ่งรู้ว่า PI เป็น จำนวนอตรรกยะ จริงๆ ซึ่ง /me ตื่นเต้นมากที่ได้อ่านบทพิสูจน์นี้เมื่อหลายปีก่อน และหวังว่าคนอื่นๆจะตื่นเต้นเหมือนๆกัน
ถึงเวลาที่จะมาพิสูจน์กันเถอะ~
หลังจากบล๊อคที่แล้ว [What is PI?] /me ได้เล่าไปแล้วว่า \(\pi\) มีที่มาจากไหน และ มันมีคุณสมบัติที่น่าสนใจยังไง
หนึ่งในพฤติกรรมแปลกประหลาดของ \(\pi\) คือการที่ไม่สามารถหาอัตราส่วนที่แน่นอนของเลขๆนี้ได้เลย และกลายเป็นโจทย์ที่น่าสนใจของนักคณิตศาสตร์หลายๆคน
ในปี 1761 Johann Heinrich Lambert ก็สามารถยืนยันพฤติกรรม “ความเป็นอตรรกยะ” ของตัวเลข 3.14159… ได้สำเร็จเป็นคนแรก โดยใช้คุณสมบัติของ continued fraction ของค่า tan(x) และหลังจากนั้นก็มีอีกหลายๆคนกับหลายๆวิธีในการศึกษาความเป็นอตรรกยะของ \(\pi\)
และ หนึ่งในบทพิสูจน์(proof) ที่น่าจะเข้าใจได้ง่ายที่สุด ก็คือ Niven’s proof ที่เขียนขึ้นในปี 1946
//มาลองดูกัน
Niven’s proof
การพิสูจน์ของ Niven จะเป็นการพิสูจน์โดยข้อขัดแย้ง (Proof by contradiction) ซึ่งหมายความว่า เราจะตั้งสมมติฐานว่า
\(\pi\) สามารถแทนได้ด้วย \(\frac{a}{b}\)
แล้วจะนำไปสู่ข้อขัดแย้งบางอย่าง ดังนั้น จึงสรุปได้ว่า เป็นไปไม่ได้ที่ \(\pi\) จะสามารถที่จะแทนด้วย \(\frac{a}{b}\)
เริ่มละนะ…
Suppose ว่า \(\pi\) จะสามารถที่จะแทนด้วย \(\frac{a}{b}\) โดยมี a,b เป็นตัวเลขจำนวนเต็มบวก และ b มีค่ามากกว่า 0
Defined //ขั้นนี้ก็คือขั้นตอนที่ Niven เสกฟังก์ชันอะไรซักอย่างออกมาก
\[f(x) = \frac{x^{n}(a-bx)^{n}}{n!}\]และ
\[F(x) = f(x)-f^{(2)}(x)+f^{(4)}(x)-...+(-1)^{n}f^{(2n)}(x)\]ซึ่งหมายความว่า ตอนนี้เราจะมีจำนวนเต็มบวก a, b, และฟังก์ชั่น f(x), F(x) โดย F(x) เป็นผลรวมของอนุพันอันดับคู่ของ f(x)
Keep claim and Go on…
หลังจากมีอุปกรณ์ที่จะใช้แล้ว มาดูว่ามันมีคุณสมบัติที่น่าสนใจอะไรบ้าง?
Proposition #1
\[f(0) = \frac{0^{n}(a-b(0))^{n}}{n!} = 0\]Proposition #2
\[f(\pi) = \frac{\frac{a}{b}^n (a-b(\frac{a}{b}))^{n}}{n!}\]Proposition #3
\[f(\pi-x)\\\\ =f(\frac{a}{b}-x)\\\\ =\frac{(\frac{a}{b}-x)^{n}(a-b(\frac{a}{b}-x))^{n}}{n!}\\\\ =\frac{(a-bx)^{n}(bx)^{n}}{b^{n}n!}\\\\ =\frac{x^{n}(a-bx)^{n}}{n!}\\\\ =f(x)\\\\\]Proposition #4
หากเรากระจายพจน์ \(x^{n}\) เข้าไปในส่วนของ \((a-bx)^{n}\) จากทฤษฎีพหุนาม เราจะได้ว่าจริงๆแล้ว
\[f(x) = \frac{c_{0}x^{n}+c_{1}x^{n+1}+..+c_{n}x^{2n}}{n!}\]โดยมี \(\frac{c_{k}}{n!}\) เป็นค่าสัมประสิทธิ์ของพจน์ \(x^{n+k}\) โดยที่ ทุกๆ \(c_{k}\) จะต้องมีค่าเป็นจำนวนเต็มเพราะเกิดจากผลคูณกันระหว่าง a, b และค่าคงที่เท่านั้น
หรือ พูดอีกอย่างคือ f(x) แทนได้ด้วยผลบวกของพจน์ \(x^{n}\) จนถึง \(x^{2n}\) โดยมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มหารด้วย \(n!\)
Proposition #5
จาก Proposition#4 เราอาจจะกล่าวอีกแบบได้ว่า
\[f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{c_{k}x^{n+k}}{n!}\]ดังนั้น
\[f^{(1)}(x) \\\\= \sum_{k=0}^{n} \frac{\text{d}}{\text{d}x} (\frac{c_{k}x^{n+k}}{n!}) \\\\= \sum_{k=0}^{n} \frac{c_{k}(n+k)x^{n+k-1}}{n!}\]\(f(x)\) จะโดนลดดีกรี(เลขยกกำลัง) 1 ,พจน์ที่มีดีกรี 1 จะโดยเปลี่ยนเป็นค่าคงที่ และพจน์ที่เดิมเป็นค่าคงที่ ก็จะหายไปเพราะ “อนุพันธ์ของค่าคงที่ = 0”
นอกจากนี้ก็ยังสามารถหา \(f^{(2)}\), \(f^{(3)}\), … ได้ว่า
\[f^{(2)}(x) \\\\= \sum_{k=0}^{n} \frac{c_{k}(n+k)(n+k-1)x^{n+k-2}}{n!}\] \[f^{(3)}(x) \\\\= \sum_{k=0}^{n} \frac{c_{k}(n+k)(n+k-1)(n+k-2)x^{n+k-3}}{n!}\]และสำหรับ \(f^{(n+k)}\) ก็จะเหลือเพียงแค่ค่าคงที่ 1 พจน์
\[f^{(n+k)}(x) \\\\= \frac{c_{k}(n+k)(n+k-1)(n+k-2)...(1)x^{0}}{n!} \\\\= \frac{c_{k}(n+k)!x^{0}}{n!} \\\\= \frac{c_{k}(n+k)!}{n!}\]และสำหรับทุกๆพจน์ \(f^{(m)}(x)\) โดย m > n+k จะมีค่าเท่ากับ 0 เพราะ “อนุพันธ์ของค่าคงที่ = 0” และที่น่าสนใจมากๆคือ
- ทุกๆพจน์ใน \(f^{(1)}(x), f^{(2)}(x), f^{(3)}(x), ... f^{(n-1)}(x)\) จะมี x เป็นตัวประกอบ
- จาก Proposition#4 : \(f(x)\) ประกอบด้วยพจน์ดีกรี n ถึง 2n
- \(f^{(n)}(x), f^{(n+1)}(x), f^{(n+2)}(x), ... f^{(n+k)}(x)\) จะมีมีค่าคงที่ C เกิดขึ้นเสมอ เพราะทุกๆการคิดอนุพันธ์จะเป็นการลดดีกรี 1 และเมื่อลดดีกรี n จะเริ่มทำให้พจน์ \(x^{n}\) กลายเป็นดีกรี 0 หรือ ค่าคงที่
และ ค่าคงที่ของ \(f^{(n)}(x)\) จะมีเท่ากับ [จินตนาการพจน์ \(\frac{c_{0}x^{n}}{n!}\) ค่อยๆโดยดิฟไป n รอบ]
\[C_{0} = \frac{c_{0}(n)(n-1)(n-2)...(1)}{n!} = \frac{c_{0}n!}{n!}\]และถ้าคิดดีๆ \(f^{(n+k)}(x)\) ก็ควรจะมีค่าคงที่ที่เกิดจากพจน์ \(\frac{c_{k}x^{n+k}}{n!}\) ดังนั้น
\[C_{k} = \frac{c_{k}(n+k)(n+k-1)(n+k-2)...(1)}{n!} = \frac{c_{k}(n+k)!}{n!}\]โดยทุกๆค่าคงที่ที่เกิดขึ้นนี้ จะต้องเป็นค่าจำนวนเต็มเสมอ เพราะ \((n+k)! = (n+k)(n+k-1)(n+k-2)...(n!)\) ดังนั้น \(n!\) ต้องหาร \((n+k)!\) ลงตัว และ \(c_{k}\) ก็เป็นจำนวนเต็ม
- \(f^{(n+k+1)}(x), f^{(n+k+2)}(x), f^{(n+k+3)}(x), ...\) จะได้ 0 เสมอ
Proposition #6
- \(f^{(i)}(0)\) เป็นจำนวนเต็ม สำหรับ ทุกค่า i ที่เป็นจำนวนเต็มบวก เพราะเมื่อกลับไปพิจารณา Proposition#5 ทุกๆพจน์ที่เป็นค่าคงที่ จะต้องเป็นจำนวนเต็ม และทุกพจน์ที่ไม่ใช่จำนวนเต็มจะมี x เป็นตัวประกอบ เมื่อแทนค่า x=0 แล้ว พจน์นั้นก็จะได้เท่ากับ 0
Proposition #7
- จาก Proposition#3 \(f(x) = f(\pi-x)\) จากกฏลูกโช่ของการหาอนุพันธ์ (Chain Rule) จะได้ว่า
ทำนองเดียวกัน กับ \(f^{(2)}(x), f^{(3)}(x), ...\) จะได้ว่า
\[f^{(i)}(x)=\pm f^{(i)}(\pi-x)\]เมื่อแทน x =0 ก็จะได้ว่า \(f^{(i)}(0)=\pm f^{(i)}(\pi)\) และ \(f^{(i)}(\pi)\) ก็เป็นจำนวนเต็มเช่นเดียวกัน
สุดท้ายเราก็ทำมาถึงเป้าหมายที่ 1 แล้ว
Claim #1 : \(F(0)\) และ \(F(\pi)\) จะต้องเป็นจำนวนเต็ม
เพราะจากนิยาม
\[F(x) = f(x)-f^{(2)}(x)+f^{(4)}(x)-...+(-1)^{n}f^{(2n)}(x)\]และจาก Proposition#6, Proposition#7 ซึ่งบอกว่า \(f^{i}(0)\) และ \(f^{i}(\pi)\) เป็นจำนวนเต็ม สำหรับทุกๆจำนวนเต็มบวก i ใดๆ
It’s so long….
ถึงคราวที่เราจะมาสนใจ \(F(x)\) กันบ้างละ
Proposition #8 Niven บอกว่าหากเราลองหาอนุพันธ์ของ \(F^{(2)}(x)\) เราจะพบความน่าสนใจอย่างหนึ่ง คือ
\(F(x) = f(x)-f^{(2)}(x)+f^{(4)}(x)-...+(-1)^{n}f^{(2n)}(x)\rightarrow1\) \(F^{(2)}(x) = f^{(2)}(x)-f^{(4)}(x)+f^{(6)}(x)-...+(-1)^{n}f^{(2n+2)}(x)\rightarrow2\)
เมื่อเอาสมการ 1+2 จะได้ว่า
\[F^{(2)}(x) + F(x) = f(x) + (-1)^{n}f^{(2n+2)}(x)\]แต่จาก Proposition#4 \(f(x)\) มีดีกรีสูงสุดแต่ 2n ดังนั้น \(f^{(2n+2)}(x)\) จึงต้องมีค่าเป็น 0 ดังนั้น
\[F^{(2)}(x) + F(x) = f(x)\]Proposition #9
อยู่ๆ Niven ก็เสกสมการที่น่าสนใจขึ้นมาอีก 1 สมการ ลอง
\[\frac{\text{d}}{\text{d}x}[F^{(1)}(x)sin(x) - F(x)cos(x)]\]เมื่อใช้กฏการคูณของอนุพันธ์ : ดิฟหน้าคูณหลัง = หน้าดิฟหลัง + หลังดิฟหน้า //ท่องตามกันอีกเที่ยวนะคะ
\[\frac{\text{d}}{\text{d}x}[F^{(1)}(x)sin(x) - F(x)cos(x)]\\\\ = \frac{\text{d}}{\text{d}x}[F^{(1)}(x)sin(x)] - \frac{\text{d}}{\text{d}x}[F(x)cos(x)]\\\\ = F^{(1)}(x)\frac{\text{d}}{\text{d}x}sin(x) + sin(x)F^{(2)}(x) - F(x)\frac{\text{d}}{\text{d}x}[cos(x)]-cos(x)F^{(1)}(x)\\\\ = F^{(1)}(x)cos(x) + sin(x)F^{(2)}(x) + F(x)sin(x)-cos(x)F^{(1)}(x)\\\\ = (F^{(2)}(x) + F(x))sin(x)\\\\\]และจาก Proposition #8
\[\frac{\text{d}}{\text{d}x}[F^{(1)}(x)sin(x) - F(x)cos(x)] = f(x)sin(x)\]Ohhhh Miracle!!
Proposition #10
องค์ประกอบสุดท้ายของ Niven’s proof สิ่งที่เราต้องการคือ \(\int_{0}^{\pi} f(x)sin(x) dx\) โดย
\[\int_{0}^{\pi} f(x)sin(x) dx \\\\ =\int_{0}^{\pi} \frac{\text{d}}{\text{d}x}[F^{(1)}(x)sin(x) - F(x)cos(x)] dx\\\\ =[F^{(1)}(x)sin(x) - F(x)cos(x)]_{0}^{\pi}\\\\ =[F^{(1)}(\pi)sin(\pi) - F(\pi)cos(\pi)] - [F^{(1)}(0)sin(0) - F(0)cos(0)]\\\\ =F(\pi) - F(0)\\\\\]เราจึงมาถึง
Claim #2 \(\int_{0}^{\pi} f(x)sin(x)dx =F(\pi) - F(0)\) และประกอบกับข้อมูลที่ได้จาก Clain#1 จะได้ว่า \(\int_{0}^{\pi} f(x)sin(x)dx\) จะต้องเป็นจำนวนเต็มเท่านั้น
What’s Next??
คราวนี้ก็มาถึงด่านสุดท้ายของบทพิสูจน์ Niven อ้างว่า
สำหรับทุกๆ x โดยที่ \(0 < x < \pi\) เราจะได้ว่า ทุกๆ \(x^{n} > 0\), ทุกๆ \((a-bx)^{n} > 0\) และ ทุกๆ \(sin(x) > 0\) ดังนั้น
\(f(x)sin(x) > 0\) สำหรับทุกๆค่าในช่วง \(0 < x < \pi\)
และเนื่องจาก \(x < \pi\) ดังนั้น \(x^{n} < \pi^{n}\) กำหนดเป็นอสมการ #3
และเนื่องจาก \(x > 0\) ดังนั้น \((a-bx) < (a)\) และ \((a-bx)^{n} < a^{n}\) กำหนดเป็นอสมการ #4
จากอสมการ 3,4 จะสรุปได้ว่า
\[f(x) = \frac{x^{n}(a-b(x))^{n}}{n!} < \frac{\pi^{n}(a)^{n}}{n!}\]และเมื่อคูณ f(x) ด้วย sin(x) ซึ่งเมื่อ \(0 < x < \pi\) แล้ว \(0 < sin(x) < 1\) ดังนั้น
\[f(x)sin(x) < \frac{\pi^{n}(a)^{n}}{n!}\]หลังจากนั้นเราลองใส่อินทิเกตทั้งสองข้างของอสมการ bound for the integral เราจะได้ว่า
\[0 < \int_{0}^{\pi} f(x)sin(x)dx < \frac{\pi^{n+1}(a)^{n}}{n!}\]ซึ่งอสมการนี้จะถูกต้องสำหรับทุกค่าจำนวนเต็มบวก n ใดๆ แต่หากเราใช้ n เป็นค่าเยอะมากๆ เราจะสามารถทำให้
\[\frac{\pi^{n+1}(a)^{n}}{n!} < 1\]หมายความว่า ถ้า n ใหญ่มากพอ จะทำให้ \(0 < \int_{0}^{\pi} f(x)sin(x)dx\) มีค่าน้อยกว่า 1 ได้ แต่ต้องมากกว่า 0 (ไม่เป็นจำนวนเต็ม)
จาก Claim #1,#2 ที่กล่าวว่า \(\int_{0}^{\pi} f(x)sin(x)dx\) จะต้องมีค่าเป็นจำนวนเต็ม
ดังนั้น \(\int_{0}^{\pi} f(x)sin(x)dx\) จะต้องสามารถเป็นค่าจำนวนเต็ม และ ไม่ใช่จำนวนเต็มพร้อมๆกัน เมื่อให้ค่า n มากๆ
It’s contradiction
เราจึงสรุปได้ว่า ถ้า \(\pi\) สามารถแทนได้ด้วยสัดส่วนของจำนวนเต็ม จะนำไปสู่ความขัดแย้ง ดังนั้น \(\pi\) จึงไม่สามารถแทนได้ด้วยสัดส่วนของจำนวนเต็ม QED.
Math is hard but wonderful
แค่คุณสมบัติเล็กๆนี้ นักคณิตศาสตร์ต้องใช้เวลากว่า 2,000 ปีในการพิสูจน์มัน นอกจากความเป็นอตรรกยะแล้ว \(\pi\) ยังมีคุณสมบัติอีกมากให้เราค้นหา เช่น normality, transcendental, …
และไม่ใช่แค่ \(\pi\) โลกของคณิตศาสตร์ยังมีตัวเลขอีกมากมายที่รอใครซักคนที่ขุดคุ้ย อนาคตอาจจะเป็นคุณก็ได้ :))
//ยาววววววสาสสสสส