TL;DR
/me คิดว่าหลายคนคงรู้จัก หรือ เคยรู้จักสัญลักษณ์ π มาเป็นอย่างดี เดิมไอ้เจ้าสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์นี้ เป็นเพียงอักษรกรีกธรรมดาตัวหนึ่ง แต่อยู่ๆก็โดนกำหนดให้แทนด้วยค่าแปลกๆ ทำให้มันกลายเป็นส่วนสำคัญของวิชาคณิตศาสตร์
\(\pi\) เป็นเพียงอักษรกรีกธรรมดาตัวหนึ่ง แต่ถูกนำมาใช้แทนค่าคงที่แสดงสัดส่วนระหว่างเส้นรอบวงต่อเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม โดยนักคณิตศาสตร์ชื่อ William Jones ในปี 1706; A New Introduction to the Mathematics แต่ใช้กันอย่างแพร่หลาย เพราะการสนับสนุนโดย Leonhard Euler
แรกเริ่มเดิมที ค่า \(\pi\) นี้ถูกกล่าวถึงมาตั้งแต่สมัยโรมัน โดย Archimedes ซึ่งอาร์คีมีดีสพบว่าไอ้สัดส่วนที่ว่านี้เป็นค่าคงที่สำหรับทุกๆวงกลม ซึ่งนำไปสู่การคิดสูตรหาเส้นรอบรูป; \(2\pi r\), พื้นที่วงกลม; \(\pi { r }^{ 2 }\) และอีกมากมาย
และต่อมา \(\pi\) ก็เข้าไปเป็นส่วนสำคัญในแวดวงคณิตศาสตร์ ไม่ว่าจะเป็นเรื่อง Geometry, Number theory, Calculus หรือแม้กระทั้ง Complex Number theory จึงเกิดคำถามที่น่าสงสัยว่า สรุปแล้ว \(\pi\) มีค่าเท่าไรกันแน่
What is exact value of \(\pi\) ?
แน่นอนว่าหลังจากอาร์คีมีดีสค้นพบค่าคนที่ที่เรียกว่า \(\pi\) แล้ว สิ่งที่เขาคิดต่อไปก็คือคำนวนหาค่าที่แน่นอนของมัน เขาคำนวนโดยการสร้างรูปเหลี่ยม 96 ด้าน เพื่อคำนวนหาเส้นรอบรูปและเส้นผ่านศูนย์กลางเผื่อใช้แทนรูปทรงกลม และนี้ก็คือสิ่งที่อาร์คีมีดีส ค้นพบ
\[\frac { 223 }{ 71 } <\quad \pi \quad <\frac { 22 }{ 7 }\]สำหรับใครที่สนใจ วิธีการของอาร์คีมีดีสเพิ่มเติม ก็ไปลองดูตามคลิปนี้ฮ๊าฟ
นอกจากอาร์คีมีดีส ในยุคของอียิปต์โบราณก็มีการคำนวน และใช้ค่า \(\pi \approx \frac { 22 }{ 7 }\) กันอย่างแพร่หลาย หรือแม้กระทั้งในจีน มีการพบบันทึกค่า \(\pi \approx 3.1547\) และในภายหลังนักคิดชาวจีนในศตวรรษที่ 3 ยังสามารถพัฒนา Polygon-based Iterative Algorithm ซึ่งทำให้สามารถคำนวนค่า \(\pi\) ได้ถูกต้องถึง 7 หลัก ถือเป็นค่า \(\pi\) ที่ละเอียดที่สุดนี้ในช่วงนั้น และถือครองตำแหน่งนี้เป็นเวลายาวนานถึง 800 ปีเลยทีเดียว
WHAT?
I don’t want any approximations of \(\pi\)!!! I NEED the exact value.
สำหรับค่าที่แท้จริงของ \(\pi\) พึ่งมีการศึกษาในศตวรรษที่ 16-17 หลังจากนักคณิตศาสตร์พัฒนาสิ่งที่เรียกว่า อนุกรมอนันต์ หรือ infinite series ขึ้นมา โดยนักคณิตศาสตร์หลายคนพบว่าค่า \(\pi\) สามารถแทนได้ด้วยอนุกรมอนันต์เฉพาะบางอย่างได้ นำไปสู่การค้นพบ Gregory–Leibniz series
\[\pi =\frac { 4 }{ 1 } -\frac { 4 }{ 3 } +\frac { 4 }{ 5 } -\frac { 4 }{ 7 } +\frac { 4 }{ 9 } +...\quad\]WTF!!
แต่เจ้า Gregory–Leibniz series นี้ ถึงแม้ว่าสามารถคำนวนค่า \(\pi\) ได้ถูกต้อง แต่หากต้องการความถูกต้อง 5 หลัก ต้องอาศัยการคำนวนมากถึง 500,000 พจน์ seriously!
หลังจากนั้นก็มีการคิดอนุกรมใหม่ขึ้นมาเพื่อแก้ไขปัญหานี้ เช่น Nilakantha’s series
\[\pi =3+\frac { 4 }{ 2\times 3\times 4 } -\frac { 4 }{ 4\times 5\times 6 } +\frac { 4 }{ 6\times 7\times 8 } -\frac { 4 }{ 8\times 9\times 10 } +...\]ซึ่งเป็นอนุกรมที่ลู่เข้าหาค่า \(\pi\) ได้อย่างรวดเร็ว นอกจากนี้ก็ยังมี Machin’s series, Chudnovsky’s series and so on.
ความจริงแล้ว แม้กระทั้ง Newton ผู้คิดค้น Calculus เองก็ยังเคยคำนวนค่า \(\pi\) ด้วยเหมือนกัน (แถมคำนวนได้ตั้ง 15 หลักแหนะ)
ในภายหลัง ก็เข้าสู่ยุคคอมพิวเตอร์ เราจึงสามารถคำนวนค่า \(\pi\) ได้อย่างรวดเร็วมากขึ้น แต่ดูเหมือนว่าจากการคำนวนเราพบว่า มันเต็มไปด้วยทศนิยมไม่ซ้ำกันเลย และยาวยืดไปไม่สิ้นสุดซะด้วย
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715364367892590360011330530548820466521384146951941511609433057270365759591953092186117381932611793105118548074462379962749567351885752724891227938183011949129833673362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132000568127145263560827785771342757789609173637178721468440901224953430146549585371050792279689258923… อ้างอิง
จากวิชาคณิตศาสตร์ที่เรียนกันมาตั้งแต่สมัยมัธยม พวกเราเรียนรู้ที่จะแทนค่า \(\pi\) ด้วยตัวเลข \(\frac {22}{7}\) แต่ดูเหมือนว่าความจริงแล้วค่าๆนี้ไม่ใช่ค่าที่แท้จริงของ \(\pi\) แต่เป็นแค่การประมาณคร่าวๆของ \(\pi\) ซึ่งมีมาตั้งแต่ยุคอียิปต์โบราณ
แล้วเจ้า \(\pi\) ควรเป็นค่ามาจากสัดส่วนเท่าไรดี?
- \[\frac {333}{106}\]
- \[\frac {355}{113}\]
- \[\frac {52163}{16604}\]
- \[\frac {103993}{33102}\]
แต่ดูเหมือนว่าทั้งหมดล้วนไม่ใช่ค่า \(\pi\) ที่ถูกต้อง
WHY?
ในปี 1761 Johann Heinrich Lambert พบว่า จริงๆแล้วเราไม่สามารถแทนค่า \(\pi\) ด้วยสัดส่วนของจำนวนเต็มใดๆได้ หรือพูดเป็นภาษาทางการว่า “\(\pi\) ไม่เป็นจำนวนตรรกยะ” และนั้นยังหมายถึง \(\pi\) เป็นเลขที่มีทศนิยมไม่ซ้ำไปเรื่อยๆ แม้ว่าปัจจุบัน[11/11/2016] มีการคำนวนค่า \(\pi\) ได้ถึง 22,459,157,718,361 หลัก แล้วก็ตาม
//แล้วจะคำนวนไปทำไม?
และนอกจากนี้แล้ว Adrien-Marie Legendre ก็ยังพิสูจน์แล้วพบอีกว่า \({ \pi }^{ 2 }\) ก็ไม่เป็นจำนวนตรรกยะเช่นกัน โอเคๆๆ เข้าใจตรงกันนะ
แต่แค่นี้ยังไม่พอในปี 1882 Ferdinand von Lindemann ยังพบต่อไปอีกว่า นอกจาก \(\pi\) ไม่สามารถแทนค่าได้ด้วย \(\frac {a}{b}\) โดยมี a,b เป็นจำนวนเต็มใดๆแล้ว เรายังไม่สามารถหาจุดที่แน่นอนของ \(\pi\) บนเส้นจำนวนโดยใช้แค่ไม้บรรทัดและวงเวียน หรือ มันมีความเป็นตัวเลขอดิศัยนั้นเอง
นี้เป็นแค่คุณสมบัติเล็กๆน้อยๆของค่า \(\pi\)
ไม่น่าเชื่อว่าแค่ตัวเลขเล็กๆตัวเดี๋ยวก็วุ่นวายมากขนาดนี้
What Next…
ดูๆแล้ว \(\pi\) เป็นหนึ่งในตัวเลขที่แปลกประหลาด ไม่สามารถหาสัดส่วนที่แน่นอนไม่ได้ แถมยังหาจุดที่แน่นอนบนเส้นจำนวนไม่ได้ แต่อย่างไรก็ตาม \(\pi\) ก็สำคัญต่อชีวิตประจำวันของเรา และแค่จุดกำเนิดของ \(\pi\) ก็ให้ความรู้มากมาย แม้เวลาผ่านมาแล้วเป็น 1,000 ปี
ยอมรับว่า บล๊อคนี้เป็นบล๊อคที่ตั้งใจจะเขียนพิสูจน์ความเป็นอตรรกยะของ \(\pi\) แต่กลายเป็นความเป็นมาของ \(\pi\) ไปซะได้ 555
แต่บล๊อคหน้าจะตั้งใจเขียนพิสูจน์จริงๆละ ฮึ๊บๆๆ
//พึ่งใช้ Latex บน Wordpress ครั้งแรก ตื่นเต้นๆๆ ที่จริงบทความนี้ดองไว้นานมากๆ เพราะว่าขี้เกียจเขียน Latex หนิแหละ 555