ย้อนกลับไปสมัยตอนเรียน ม.ปลาย เชื่อว่า หลายๆคนคงได้พบเจอกับมหากาพย์การท่องสูตรตรีโกณมิติไปไม่มากก็น้อย หน้ากระดาษ A4 ที่เต็มไปด้วยสูตรอะไรก็ไม่รู้ยุบยับไปหมด ความทรงจำสุดสยองที่ไม่อยากย้อนกลับไปนึกถึงมัน
ใครจะไปคิดว่า เราสามารถใช้เรขาคณิตง่ายๆในการพิสูจน์สูตรด้านบนได้! บางทีนี้คือเสน่ห์ของคณิตศาสตร์ หลายๆอย่างที่แตกต่างกันแต่กลับมีความสัมธันธ์กันได้อย่างสวยงาม
Truth is ever to be found in the simplicity, and not in the multiplicity and confusion of things. — Issac Newton
Start with Basic Knowledge
ก่อนจะเริ่มลงรายละเอียด ขอปูพื้นฐานให้กับหลายๆคนที่คงลืมเนื้อหาพวกนี้ไปแล้ว สิ่งแรกที่ต้องรู้ก่อนจะเริ่ม คือ ฟังก์ชั่นตรีโกณ ไม่ว่าจะเป็น sin A, cos A หรือ tan A นิยามมาจาก สัดส่วนของสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุมๆนึง เป็นมุม A ตามรูปด้านล่าง
ถ้าเรากำหนดให้ด้านตรงข้ามมุมฉาก มีความยาว R แล้ว ความยาวด้านที่อยู่ชิดกับมุม A และด้านที่อยู่ตรงข้ามมุม A จะมีขนาด Rcos Aและ Rsin A ตามลำดับ
ย้อนกลับไปสมัยเรียน วิธีการแบบนี้ จะเจอบ่อยๆในวิชาฟิสิกซ์ หลายๆคนคงจะคุ้นๆกับเสียงท่านอาจารย์แว่วๆมาไกลๆว่า “ใกล้มุมเป็น cos ไกลมุมเป็น sin”
ซึ่งเราจะใช้แค่หลักการนี้ กับ พื้นฐานเรขาคณิต มาตะลุยพิสูจน์สูตรตรีโกณต่างๆกันในวันนี้
Let’s do Trigonometring
เป้าหมายของวันนี้ คือ พิสูจน์ 4 สูตร ได้แก่ sin A+B, cos A+b, sin A-B และ cos A-B
สิ่งแรกที่ต้องทำคือ วาดรูปสามเหลี่ยม แต่เพราะเป้าหมายแรกของเรา คือ หา A+B จึงต้องเอาสามเหลี่ยม ที่มีมุม A และ Bมาซ้อนกัน ตามรูปด้านล่าง
การหา มุมที่มีขนาดเท่ากับ A+B ก็ไม่ได้ยาก เพราะจากพื้นฐานเรขาคณิต เราจะพอรู้มาว่า มุมทแยงเส้นขนาน (เส้นแนวนอน 2 เส้นในรูป) มีค่าเท่ากัน นั้นทำให้คือ มุมแทยงในรูป มีขนาดเท่ากับ A+B ซึ่งเป็นมุมเป้าหมายที่เราตามหา
นอกจากนี้ เรายังรู้ว่า มี มุม B แอบซ่อนอยู่อีกที่ ตามรูป ซึ่งเกิดจาก 2 คุณสมบัติที่ว่า
- สามเหลี่ยมมีมุมรวมกัน เท่ากับ 180 องศา
- มุมที่รวมกันได้เส้นตรง จะต้องรวมกันได้ 180 องศา
(ใบ้มาแล้ว ที่เหลือลองคิดต่อเป็นการบ้านว่า มันเท่ากับ B จริงๆรึปล่าว?)
สิ่งที่น่าตื่นเต้นที่กำลังจะเกิดขึ้น เมื่อลองเติมค่าตรีโกณต่างๆจาก Basic Knowledge ที่พูดไปแล้ว
ใกล้มุมเป็น cos ไกลมุมเป็น sin … ใกล้มุมเป็น cos ไกลมุมเป็น sin …
จะได้ว่า ฐานของสามเหลี่ยมสีแดง เท่ากับ cos A ซึ่งพอย้ายต่อลงมาที่ ฐานของสามเหลี่ยมสีฟ้า ก็คือการคูณเข้าไปอีก cos Bผลลัพย์ คือ cos A cose B
ทำนองเดียวกัน สำหรับด้านต่างๆทั้งหมด
และด้วยว่า สี่เหลี่ยมในรูปเป็นสี่เหลี่ยมมุมฉาก มีด้านตรงข้ามยาวเท่ากัน
สิ่งที่ได้ คือ
sin A+B = sin A cos B + cos A sin B
cos A+B = cos A cos B - sin A sin B
พริบตาเดียว เราพึ่งพิสูจน์ 2 สูตรมุมบวกกัน โดยใช้แค่สามเหลี่ยมสองอัน กับ ความรู้อีกเล็กๆน้อยๆจาก เรขาคณิต
เราจะไม่หยุดเพียงเท่านี้ มาลองดัดแปลงเปลี่ยนมุมสักเล็กน้อย ตามรูปด้านล่าง
แต่คราวนี้ สิ่งที่โผล่ออกมา คือ มุม A-B ซึ่งเกิดจาก ทฤษฎีเรขาที่ว่า มุมแย้ง (มุม A)ของเส้นขนานมีขนาดเท่ากัน แต่มุมที่ว่า ส่วนหนึ่งเท่ากับ B ไปแล้ว ส่วนที่เหลือ จึงต้องเท่ากับ A-B
จากนั้นก็เติม ค่าตรีโกณ อีกครั้ง
ใกล้มุมเป็น cos ไกลมุมเป็น sin … ใกล้มุมเป็น cos ไกลมุมเป็น sin …
แถ่น แถ่น แทนแทนแทน แถ่น แท้นแท้น …
sin A-B = sin A cos B - cos A sin B
cos A-B = cos A cos B +sin A sin B
แถมอีก 2 สูตร
ของแถมประจำวันนี้ คือ สูตร sin 2A และ cos 2A ซึ่งจริงๆแล้ว เราสามารถคิดได้จาก 4 สูตรด้านบนที่มีแล้ว เพราะ แค่แทน A=B
แต่ขอท้าทายเพิ่มอีกสักนิด คราวนี้ เราจะใช้วงกลมเข้ามาช่วย แล้วคำนวนมันด้วยเรขาคณิต
เริ่มจาก ความรู้จากเรขาคณิต: “มุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมจะมีขนาดเป็นสองเท่าของขนาดของมุมในส่วนโค้งของวงกลมที่รองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกัน”
นั้นคือ จากรูป วงกลม รัศมี 1 หน่วย มีจุด Oเป็นจุดศูนย์กลาง จะได้ว่า มุมที่จุดศูนย์กลาง คือ 2A และมุมในส่วนโค้ง คือ Aตามลำดับ
จากนั้น ลากเส้นเพิ่มเติมเล็กน้อย จะได้
ด้วยว่า OP และ OQ ต่างเป็น รัศมีของวงกลม แล้วใช้ ใกล้มุมเป็น cos ไกลมุมเป็น sin …1 ครั้ง เพื่อคำนวนความยาวเส้นตรงชิดมุม A ผลที่ได้ คือ เส้นตรง PQ จะมีขนาดเท่ากับ 2 cos A
ต่อมา ถ้าพิจารณา สามเหลี่ยมสีแดงตามรูป ตามหลักการ
ใกล้มุมเป็น cos ไกลมุมเป็น sin …
ใกล้มุมเป็น cos ไกลมุมเป็น sin …
เราจะได้ความยาวฐานของสามเหลี่ยมจะเท่ากับ
= ความยาวเส้นตรงข้ามมุมฉาก x cos A
= (2 cos A) cos A
= 1+cos 2A
ย้ายข้างสมการ จะได้ว่า
cos 2A = 1- 2 cos A cos A
และจากรูปเดิม แต่ #เปลี่ยนมุมกลับปรับมุมมองเปลี่ยนมามองสามเหลี่ยมชิ้นใหญ่สีฟ้าตามรูป
เพราะ OP และ OR เป็นรัศมีของวงกลม ดังนั้นเส้น PR จึงยาวเท่ากับ 2 หน่วย เมื่อพิจารณาจากมุม A แล้ว จะได้ว่า ด้านตรงข้ามมุม A = 2 sin A
ใกล้มุมเป็น cos ไกลมุมเป็น sin …
ใกล้มุมเป็น cos ไกลมุมเป็น sin …
สุดท้ายพิจารณามุม A เล็กๆในสามเหลี่ยมย่อยด้านใน จะได้ว่า
= ความยาวด้านชิดมุม A ในสามเหลี่ยมย่อย
= ความยาวเส้นตรงข้ามมุมฉาก x cos A
= 2 sin A cos A
แต่ถ้ามองจากมุม 2Aจะได้ว่าด้านนั้นยาว =sin 2Aหรือก็คือ
sin 2A = 2 cos A sin A
Q.E.D.
Quod Erat Demonstrandum หรือ ซึ่งต้องพิสูจน์