TL;DR

เป็นไปได้ไหมที่สร้างตัวเลขขึ้นมาโดยใช้แค่ความสามารถของฟังก์ชั่น? แล้วตัวเลขมันคืออะไรกันแน่?

Numbers

Numbers is the most fundemantal thing for human being.

เพราะตัวเลขคือจุดเริ่มต้นของการคำนวน ดังนั้นปัญหาแรกของเรา คือ เป็นไปได้ไหมที่สร้างตัวเลขขึ้นมาโดยใช้แค่ความสามารถของฟังก์ชั่น?

ดังนั้น ก่อนที่ /me จะเริ่มต้นสร้างสิ่งที่เรียกว่า “ตัวเลข” เรามาทำความเข้าใจความหมายของสิ่งที่เรากำลังจะสร้างขึ้นมาก่อน

What is number?

มันเป็นเรื่องยากในการนิยามคำว่า “ตัวเลข” บางคนบอกว่า “ตัวเลขคือสิ่งที่ใช้อธิบายจำนวนของสิ่งของ” แต่ดูเหมือนว่า คำนิยามนี้สร้างคำถามที่ย้อนให้เกิดคำถามต่อไปอีกว่า “จำนวนคืออะไร?” ดูเหมือนว่ามันแค่เป็นการเล่นคำเพื่ออธิบายคำว่า “ตัวเลข” เท่านั้นเอง คล้ายกับการนิยามคำในพจนานุกรม “ขาว คือ สีที่ตรงข้ามกับดำ, ดำ คือ สีที่ตรงข้ามกับขาว”?

เมื่อพูดถึงตัวเลขแล้ว ตัวเลขมีหลายประเภท สำหรับตัวเลขที่เราใช้ในโค้ดนี้ คือ Natural numbers หรือ จำนวนนับ(Counting numbers) ซึ่งเป็นกลุ่มตัวเลขประเภทแรกๆที่เกิดขึ้นในอารยธรรมมนุษย์เพื่อใช้ในการนับสิ่งของต่างๆ หนึ่ง, สอง, สาม, …

“การนับ” จึงเป็นคีย์สำคัญในการนิยามจำนวน ลองจินตนาการว่า ถ้าเรามีถุงใส่แอ๊ปเปิ้ลและส้ม อยู่จำนวนหนึ่ง ถ้าทุกครั้งที่เราหยิบแอ๊ปเปิ้ลออกจากถุง เราจะต้องหยิบส้มออกจากถุงด้วยเหมือนกัน เราสามารถดำเนินการแบบนี้ไปได้เรื่อยๆจนกว่าแอ๊ปเปิ้ล หรือส้ม อันใดอันหนึ่งหมดจากถุง

ในกรณีที่ ถ้าทั้งแอ๊ปเปิ้ล และส้ม หมดพร้อมๆกัน ทำให้เรารู้ว่าทั้งสองมีจำนวนเท่ากัน หรือ ถ้ามีส่ิงใดเหลืออยู่ก็แปลได้ว่า สิ่งนั้นมีมากกว่าอีกสิ่งหนึ่ง แน่นอนว่า เราสามารถเปลี่ยนของภายในถุงเป็นอะไรก็ตาม มันก็ยังคงมีคุณสมบัตินี้เหมือนๆกัน ด้วยคุณสมบัตินี้ นำไปสู่ความสามารถในการเปรียบเทียบจำนวน

และเรายังสามารถนิยามตัวเลข โดยใช้กระบวนการคล้ายๆกันนี้ได้ว่า “ตัวเลข คือ การทำซ้ำการดำเนินการอะไรซักอย่างไปเรื่อยๆ เทียบกับสิ่งของมาตรฐานที่เรากำหนดไว้” โดยตัวเลขแต่ละตัว คือ การดำเนินการเรียกฟังก์ชั่นซ้อนๆกัน

• เลข 1 แทนด้วย การดำเนินการ 1 ครั้ง
• เลข 2 แทนด้วย การดำเนินการ 2 ครั้ง
• เลข 3 แทนด้วย การดำเนินการ 3 ครั้ง …

และแน่นอนว่า เลข 0 แทนด้วยการไม่ดำเนินการอะไรเลย

ด้วยนิยามนี้ /me สามารถนำมาใช้ในการสร้าง number โดยใช้ function ที่เรียกซ้อนๆกัน ได้ดังนี้

/me นิยาม ตัวเลข 1 โดยการสร้างฟังก์ชั่นที่รับ 2 ตัวแปร โดยตัวแปรแรก คือ การดำเนินการอะไรซักอย่าง เช่น การหยิบของออกจากถุง, การทำลาย หรือ การมาร์กเส้น 1 เส้นไว้บนกระดาน และอีกตัวแรก คือ สิ่งที่เราจะดำเนินการด้วย ในที่นี้ อาจจะเป็นส้ม, แอ๊ปเปิ้ล หรือ ก้อนหิน

เมื่อเปลี่ยนเป็นโค้ด จะได้แบบนี้

function one(proc, x) {
    return proc(x)
} 

และทำนองเดียวกัน /me สามารถนิยาม 2, 3, … ดังนี้

function two(proc, x) {
    return proc(proc(x))
} 

function three(proc, x) {
    return proc(proc(proc(x)))
} 

และ ด้วยรูปแบบเดียวกันนี้ /me สามารถนิยามตัวเลข 0 (แต่มันไม่ใช่ counting numbers หนิ) โดยวิธีการเดิม แต่เราจะไม่ให้มันดำเนินการใดๆ

function zero(proc, x) {
    return x
} 

เมื่อเราเปลี่ยนโค้ดทั้งหมดให้อยู่ในรูปแบบของ arrow function จะสามารถลดรูปเป็น

const ZERO  = (p,x) => x;
const ONE   = (p,x) => p(x);
const TWO   = (p,x) => p(p(x));
const THREE = (p,x) => p(p(p(x)));

** ถึงเงื่อนไขของสำหรับโค้ดนี้ คือ โค้ดที่ใช้เฉพาะฟังก์ชั่น อาจจะมีคนแย้งว่า โค้ดที่เห็นตอนนี้มันมีการสร้างตัวแปรตัวหนะ #ไม่เหมือนที่คุยกันไว้หนิหน่า

แต่ แต่ เพื่อให้ทุกคนสามารถเข้าใจง่ายขึ้น /me จึงขอใช้ const ซึ่งเป็นการประกาศตัวแปรที่ไม่สามารถเปลี่ยนแปลงค่าภายในได้ แปลว่ามันจะมีค่าแบบนี้ไปตลอดกาล และเมื่อทุกอย่างครบสมบูรณ์ เราจะย้อนกลับ crtl+replace ทุกๆตัวแปรด้วยฟังก์ชั่นที่สร้างขึ้น #เราจะขอทำตามสัญญาขอเวลาอีกไม่นาน

What is that number?

สุดท้าย ก่อนที่จะข้ามไปสู่ส่วนถัดไป /me ลองมาทายดูว่าตัวเลขนี้คือเลขอะไร

const X = (p,x) => p(p(p(p(p(p(p(p(p(p(p(p(p(p(p(p(p(p(p(p(p(p(p(p(p(p(p(x)))))))))))))))))))))))))));

มันค่อนข้างยาก และน่าเบื่อกว่าที่คิด คิดดูซิว่าถ้าเป็นเลข 3 หลัก คงต้องนับกันวุ่นวาย ดังนั้น /me จึงอยากแนะนำฟังก์ชั่น to_integer(n) เพื่อเปลี่ยนตัวเลขแบบฟังก์ชั่นไปเป็นตัวเลขธรรมดาแบบที่ทุกคนคุ้นเคย ถึงแม้ว่ามันจะไม่เกี่ยวกับโค้ดส่วนที่ /me ต้องการ แต่มันจะช่วยให้ /me เช็คค่าต่างๆได้ง่ายขึ้นบน console ปกติ โดยไม่ต้องมี console ใหม่ที่รองรับตัวเลขที่เรานิยามขึ้น

function to_integer(n) {
    return n((x)=>x+1,0)
}

จากนิยามตัวเลขที่เรากำหนดไว้ว่ามันคือ การดำเนินการอะไรซักอย่างซ้ำๆกันหลายๆครั้ง ดังนั้นถ้ากำหนดให้การดำเนินการนั้น คือ การบวกหนึ่งใน native javascript เข้าไปยังเลข 0 สิ่งที่เราจะได้ คือ ตัวเลขแบบเดิมที่เราคุ้นเคย yeepeee

>> to_integer(ZERO)
=> 0

>> to_integer(THREE)
=> 3

เห้ยยยย แทนค่าตัวเลขของเราลงใน psudo-code ที่ /me ร่างไว้

def isPrime(p):
    for i in range(TWO,p):
        if p%i==0:
            return "Not Prime"
    return p

แป๋ววว ดูเหมือนว่า โปรแกรมนี้ยังคงไม่สามารถรันได้แน่นอน! เพราะยังมี for loop, %, range(), … และ อีกมากมายรอการ implement และหวังว่าเมื่อ /me สร้างทุกอย่างเสร็จสมสูรณ์ เราจะได้พบกับ New Era of isPrime(p)

PS. ดูโค้ดส่วนต่างๆได้ที่ Github จะทยอย push ตามบล๊อคที่ทยอยเขียน

จบไปอีกหนึ่งตอน

ตอนนี้ /me เล่าถึง numbers และการนิยามตัวเลข โดยใช้ฟังก์ชั่น สำหรับตอนต่อไป /me จะพาแนะนำการดำเนินการต่างๆบนจำนวนนับ เพราะ /me เลือกที่สร้างจำนวนขึ้นมาด้วยตัวเอง จึงจำเป็นต้องสร้าง Arithmetic operations: บวก ลบ คูณ หาร ด้วยตัวเองเช่นกัน