TL;DR

ตอนที่ 2 ในการแก้ สมการ Diophantine BQDEs ซึ่งจะพูดถึงวิธีการแก้ในกรณี Elliptical case และ Parabolic case (= 3=)//

กลับมาต่อในตอนที่ 2 สำหรับการแก้สมการ diophantine ของสมการ

\[Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F = 0\]

หลังจากค้นๆข้อมูลเพิ่มเติม /me พึ่งรู้ทีหลังว่า เจ้าสมการที่เรากำลังพูดถึงกันอยู่นี้ มันมีชื่อทางการว่า Binary Quadratic Diophantine Equations หรือ BQDEs ซึ่งเป็นเรื่องราวที่ค่อนข้างจะเป็น pure mathematics มากๆ ส่วนตัว /me ก็ไม่ทราบว่าเรื่องพวกนี้จะไปประยุกต์ใช้กับเรื่องอะไรบ้าง เท่าที่ค้นๆมา เรามีการประยุกต์ใช้ Diophantine Equation ค่อนข้างมากในวิชาเกี่ยวกับเคมี นอกจากนี้ Diophantine Equation ยังเป็นส่วนสำคัญที่ทำให้เราเข้าใจพฤติกรรมของ curve แบบต่างๆได้

ความเดิมตอนที่แล้ว

ตอนที่ 1 /me ได้พูดถึงวิธีการหาคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มของ BQDEs สำหรับกรณี Linear case และ Simple hyperbolic case ไปแล้ว เรามาเริ่มกันต่อที่กรณีต่อไปกันเลยดีกว่า

Elliptical case

สำหรับกรณีนี้ เกิดจากกรณีที่ \(B^2-4AC < 0\) กราฟของสมการที่เราสนใจจะอยู่ในรูปของวงรีซึ่งหมายความว่า ค่าที่เป็นจำนวนเต็มที่เป็นไปได้ จะจำกัดอยู่ในช่วงของ x ที่อยู่ระหว่าขั้วทั้ง 2 ข้างของวงรี ดังนั้นเป้าหมายของการปรับแต่งสมการ คือ การหาว่า x ที่เป็นขั้วทั้ง 2 อยู่ที่ตำแหน่งอะไร?

\[Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F = 0\\\\ Cy^{2}+(Bx+E)y+(Ax^{2}+Dx+F) = 0\\\\ y = \frac{-(Bx+E)\pm\sqrt{(Bx+E)^2-4C(Ax^{2}+Dx+F)}}{2C}\\\\\]

//บรรทัดสุดท้าย คือ มองให้เป็นสมการกำลังสอง แล้วแทน “y = ลบบีบวกลบรูทบีกำลังสองลบสีเอซีส่วนสองเอ” #ทำเสียงเหมือนตอนกำลังท่องให้คุณครูฟัง เผื่อใครลืม

จากผลเฉลยที่ได้ จะพบว่า ทุกๆจุด x จะให้ค่า y สองค่า คือ ส่วนที่ + รากที่ 2 และส่วนที่เป็น - รากที่ 2 ยกเว้นจุดเดียวที่ให้ค่า y เพียงค่าเดียวก็คือ จุดที่เป็นจุดวกกลับหรือจุดขั้วนั้นเอง ซึ่งเกิดจาก \(\sqrt{(Bx+E)^2-4C(Ax^{2}+Dx+F)} = 0\)

ดังนั้น ค่า x ที่เป็นคำตอบที่เป็นจำนวนเต็ม จะต้องอยู่ในช่วงที่ได้จากผลเฉลยของสมการ

\[(Bx+E)^2-4C(Ax^{2}+Dx+F) = 0\]

หรือ

\[(B^2-4AC)x^2+2(BE-2CD)x+(E2-4CF) = 0\]

ถ้าไม่มีจุด x ใดๆ ในช่วงนี้ให้ค่า y ที่เป็นจำนวนเต็ม แล้ว สมการ diophantine นั้นก็จะไม่มีผลเฉลย Q.E.D.

Parabolic case

ในกรณีนี้เกิดจาก \(B^2-4AC = 0\)

ก่อนอื่น กำหนด g = gcd(A,C) แล้วให้ a = A/g, b = B/g และ c = G/g เพื่อทำให้สมการของเราดูง่ายยิ่งขึ้น สำหรับบางคนอาจจะสงสัยว่า b จะได้ยังคงเป็นจำนวนเต็มรึปล่าว คำตอบคือ b จะต้องเป็นจำนวนเต็มแน่นอน เพราะ

\[B^2 = 4AC\\\\\]

ถ้า g สามารถหาร A และ C ลงตัวแล้ว g ก็จะต้องหาร B ลงตัวด้วยเหมือนกัน
\(B^2\) เป็นจำนวนบวก ทำให้ AC จะต้องเป็นจำนวนบวกเช่นกัน
A และ C จะต้องเป็นจำนวนเต็มที่มีเครื่องหมายเหมือนกัน (บวกทั้งคู่ หรือ ลบทั้งคู่)
ถ้าเลือก g ที่มีเครื่องเหมือนเหมือนกับ A แล้ว a และ c จะได้เป็นบวกเสมอ
จาก \(b^2=(2^2)ac\) และ \(gcd(a,c) = 1\) ดังนั้น a และ c จะต้องเป็น perfect square เสมอ
หรือพูดอีกอย่างหนึ่ง คือ เราสามารถแทน \(a = p^2, c = q^2\) โดยที่ p,q เป็นจำนวนเต็ม

หลังจากที่เราศึกษาเอกลักษณ์ของกรณีนี้กันแล้ว ก็ถึงเวลาแล้วที่จะมาหาคำตอบของสมการ

\[Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F = 0\\\\ (ag)x^{2}+(bg)xy+(cg)y^{2}+Dx+Ey+F = 0\\\\ g((\sqrt{a}x)^{2}+(2\sqrt{a}\sqrt{c})xy+(\sqrt{c}y)^{2})+Dx+Ey+F = 0\\\\ g(\sqrt{a}x+\sqrt{c}y)^{2}+Dx+Ey+F = 0\\\\ \sqrt{a}g(\sqrt{a}x+\sqrt{c}y)^{2}+\sqrt{a}Dx+\sqrt{a}Ey+\sqrt{a}F = 0\\\\ \sqrt{a}g(\sqrt{a}x+\sqrt{c}y)^{2}+\sqrt{a}Dx+\sqrt{a}Ey+\sqrt{a}F + (\sqrt{c}Dy-\sqrt{c}Dy)= 0\\\\ \sqrt{a}g(\sqrt{a}x+\sqrt{c}y)^{2}+D(\sqrt{a}x+\sqrt{c}y)+(\sqrt{a}E-\sqrt{c}D)y+\sqrt{a}F= 0\\\\\]

แทน \(u=\sqrt{a}x+\sqrt{c}y\)

\[\sqrt{a}g(u)^{2}+D(u)+(\sqrt{a}E-\sqrt{c}D)y+\sqrt{a}F= 0\\\\ \sqrt{a}g(u)^{2}+D(u)+\sqrt{a}F = (\sqrt{c}D-\sqrt{a}E)y \\\\\]

จากการแทนค่า \(u=\sqrt{a}x+\sqrt{c}y\)

อย่าลืม property ที่สำคัญ คือ “u เป็นจำนวนเต็ม ก็ต่อเมื่อ x,y เป็นจำนวนเต็ม” เพราะ สัมประสิทธิ์ \(\sqrt{a}, \sqrt{c}\) เป็นจำนวนเต็ม ตามคุณสมบัติปิดการบวก และการคูณ ดังนั้น u จึงต้องเป็นจำนวนเต็ม

จากสมการที่เราจัดรูปกันมาแล้ว เราจะมาพิจารณาแยกเป็น 2 กรณี คือ

กรณี \((\sqrt{c}D-\sqrt{a}E) = 0\) หรือก็คือ

\[\sqrt{a}g(u)^{2}+D(u)+\sqrt{a}F = 0\]

จะเห็นว่า เราสามารถหาคำตอบของสมการตัวแปร u ได้ทันที โดยกำหนดให้ คำตอบจากสมการตัวแปร u คือ \(u_1, u_2\) แล้วแทนค่ากลับลงในสมการเดิม

\[\sqrt{a}x+\sqrt{c}y = u_1, \sqrt{a}x+\sqrt{c}y = u_2\]

สมการทั้ง 2 ต่างอยู่ในรูป linear case ซึ่งเราสามารถแก้มันได้ โดยใช้วิธีการที่พูดถีงไปแล้วใน ตอนที่ 1 #ไม่เสียแรงที่ร่ำเรียน

กรณี \((\sqrt{c}D-\sqrt{a}E) \neq 0\)

เมื่อพิจารณาสมการ

\[\sqrt{a}g(u)^{2}+D(u)+\sqrt{a}F = (\sqrt{c}D-\sqrt{a}E)y \\\\\]

เราสามารถพูดอีกแบบได้ว่า \(\sqrt{a}g(u)^{2}+D(u)+\sqrt{a}F\) เป็นตัว y เท่าของ \((\sqrt{c}D-\sqrt {a}E)\)

เมื่อกำหนด \(f(u) = \sqrt{a}g(u)^{2}+D(u)+\sqrt{a}F , M = (\sqrt{c}D-\sqrt{a}E)\) แล้ว

ถ้า \(f(u) = k_1(M)\) แล้ว \(f(u+M) = k_2(M)\)

เพราะ

\[f(u+M) = \sqrt{a}g(u+M)^{2}+D(u+M)+\sqrt{a}F\\\\ f(u+M) = \sqrt{a}g(u^2+2uM+M^2)+Du+DM+\sqrt{a}F\\\\ f(u+M) = \sqrt{a}gu^2+\sqrt{a}g2uM+\sqrt{a}gM^2+Du+DM+\sqrt{a}F\\\\ f(u+M) = (\sqrt{a}gu^2+Du+\sqrt{a}F)+M(\sqrt{a}g2u+\sqrt{a}gM+D)\\\\ f(u+M) = f(u)+M(\sqrt{a}g2u+\sqrt{a}gM+D)\\\\\]

ดังนั้น ถ้า \(f(u) = k_1(M)\) แล้ว \(f(u+M) = k_2(M)\)

เมื่อเป็นเช่นนั้นเราจะสามารถหาคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มของสมการ

\[\sqrt{a}g(u)^{2}+D(u)+\sqrt{a}F = (\sqrt{c}D-\sqrt{a}E)y \\\\\]

โดยทดสอบแค่เฉพาะตัวเลขที่อยู่ในช่วง \(0 \leq u_i \leq (\sqrt{c}D-\sqrt{a}E)\)

สำหรับทุกๆ \(u_i\) ที่ให้คำตอบที่เป็นจำนวนเต็ม จะให้ \(u_i+(\sqrt{c}D-\sqrt{a}E)t\) เป็นคำตอบด้วยเช่นกัน

จากนั้นแทนค่า \(u_i+(\sqrt{c}D-\sqrt{a}E)t\) ลงในสมการ

\[u=\sqrt{a}x+\sqrt{c}y\]

เราก็จะได้คำตอบที่เป็นจำนวนเต็มทุกตัวของสมการ Q.E.D.

กราบขอขอบคุณ

Dario Alpern’s Generic Two integer variable equation solver

PS. จากเดิม /me คิดว่า จะเขียนบทความสั้นๆไม่ยาวมาก จากเดิมที่คาดว่าจะเขียนแค่ 2 ตอน ดูเหมือนว่าจะเปลี่ยนเป็น 4 ตอนซะแล้วซิ ฝากติดตามด้วยนะฮะ