TL;DR

ถ้าพูดถึง Pythagoras’ theorem หรือ ทฤษฎีบทสามเหลี่ยมอันโด่งดัง ก็คงจะไม่ยากที่จะทำให้นึกถึงสมการ a2+b2 = c2 ไม่ว่าจะเป็นการออกแบบตึกสูง ไปจนถึง คนทำเกมส์ แต่อย่างหนึ่งที่น่าเสียดาย คือ น้อยคนนักที่จะนึกถึง The Converse of Pythagoras’ theorem หรือ บทกลับของพีทากอรัส

ถ้าพูดถึง Pythagoras’ theorem หรือ ทฤษฎีบทสามเหลี่ยมอันโด่งดัง ก็คงจะไม่ยากที่จะทำให้นึกถึงสมการนี้

\[a^{2}+b^{2} = c^{2}\]

แน่นอนว่า สมการนี้เป็นสมการที่ใช้กันในทุกๆศาสตร์ ไม่ว่าจะเป็นการออกแบบตึกสูง ไปจนถึง คนทำเกมส์ แต่อย่างหนึ่งที่น่าเสียดาย คือ น้อยคนนักที่จะนึกถึง The Converse of Pythagoras’ theorem หรือ บทกลับของพีทากอรัส

เดิมทีแล้วถ้าย้อนกลับไปสมัยมัธยม #มันก็นานแล้วนะ ตอนที่เริ่มเรียนเรขาคณิตแรกๆ ภาพที่คุ้นหูคุ้นตา ของ Pythagoras’ theorem คือ ประโยคประมาณนี้

The square of the hypotenuse (the side opposite the right angle) is equal to the sum of the squares of the other two sides – Wiki

หรือ ถ้าพูดเชิงคณิตศาสตร์มากขึ้น ก็คือ

ถ้า “มีรูปสามเหลี่ยม ABC มุมฉากโดยมีแต่ละด้านยาว a, b, c และ c เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก” แล้ว \(a^{2}+b^{2} = c^{2}\)

เห็นอะไรที่ชัดเจนขึ้นรึยัง? ความจริงแล้วเราพบว่า สิ่งที่เราเรียนๆกันมาตลอดเป็นแค่ด้านหนึ่งของ Pythagoras’ theorem ที่พูดถึง \(p \rightarrow q\)

บทพิสูจน์มากมายที่เห็น มักจะพูดถึงเฉพาะในด้านนี้ด้านเดียว แล้วลืมกันไปเลยว่าจริงๆแล้ว Pythagoras’ theorem สามารถเป็น \(p \leftrightarrow q\) ได้

The Converse of Pythagoras’ theorem

ถึงแม้ว่าจะไม่ค่อยมีคนพูดถึงมากเท่าไรนัก จริงๆแล้วเจ้าบทกลับนี้เป็นอีกหนึ่งส่วนสำคัญในการคำนวนในหลายๆงาน เพราะเป็นสมการที่ใช้ในการตรวจสอบความเป็นมุมฉากได้เป็นอย่างดี

For any triangle with sides a, b, c, if \(a^{2}+b^{2} = c^{2}\) then the angle between a and b is a right angle.

พูดกันตามความจริงแล้ว ในการสร้างพีระมิดที่มักมีคนพูดว่า ชาวอียิปต์ใช้ Pythagoras’ theorem ในการตัดหินให้เป็นมุมฉาก เป็นคำพูดที่ไม่จริงสักทีเดียว เพราะในการตรวจสอบความเป็นมุมฉากนั้นจริงๆแล้วเขากำลังใช้ The Converse of Pythagoras’ theorem ต่างหาก!!

Let’s Proof

และวันนี้เราจะมาเติมเต็มช่องว่างที่ขาดไป ในการพิสูจน์ Pythagoras’ theorem ด้วยการพิสูจน์ Converse ของมันไปพร้อมๆกัน เป้าหมายของวันนี้ คือ

ถ้า “มีรูปสามเหลี่ยม ABC โดยมีแต่ละด้านยาว a, b, c และ \(a^{2}+b^{2} = c^{2}\)” แล้ว “สามเหลี่ยม ABC จะต้องเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก” (1)

หรือ ถ้าพูดกลับกัน คือ

ถ้า “สามเหลี่ยม ABC ไม่เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก แล้ว “\(a^{2}+b^{2} \neq c^{2}\)” (2)

กลับมาทบทวนกันอีกซักหน่อย

ถ้า “มีรูปสามเหลี่ยม ABC มุมฉากโดยมีแต่ละด้านยาว a, b, c และ c เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก” แล้ว “\(a^{2}+b^{2} = c^{2}\)” (3)

เพราะว่าในบทพิสูจน์ของ Pythagoras’ theorem เองไม่ได้อ้างอิงใช้ converse เราจึงสามารถใช้ตัวมันเองเพื่อมาพิสูจน์ได้

ต่อมาถ้าเราเชื่อว่า (2) ไม่จริง แปลว่า

Claim: สามารถสร้างสามเหลี่ยม ABC ที่ไม่เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก แต่ \(a^{2}+b^{2} = c^{2}\) (4) ได้

** (4) เป็นจริง ก็ต่อเมื่อ (3) จะไม่เป็นจริง **

เริ่มต้นจากการสร้างสามเหลี่ยม ABC ที่ไม่เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังนั้นเราจะแยกไปเป็น 2 กรณี คือ

1. Obtuse triangle สามเหลี่ยมมุมป้าน

เริ่มต้นจากการสร้างสามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมป้าน จากนั้นลากเส้นตั้งฉาก และกำหนดความยาวแต่ละด้าน ตามรูป

จากนั้นใช้ (3) ซึ่งเป็น Pythagoras’ theorem จะได้ว่า

\[b^{2} = m^{2} + n^{2} - (5)\] \[c^{2} = (a+m)^{2} + n^{2} - (6)\]

จาก Claim (4) กำหนดให้ \(a^{2}+b^{2} = c^{2}\) เป็นจริง แล้วแทนค่า (5), (6)

\[(a+m)^{2} + n^{2} = a^{2}+ m^{2} + n^{2}\\\\ a^{2} + 2am + m^{2} + n^{2} = a^{2}+ m^{2} + n^{2}\\\\ 2am = 0\\\\\]

แต่ทั้ง a และ m ต่างเป็นความยาวของด้านสามเหลี่ยม จึงไม่สามารถเป็นค่า 0 ได้ contradiction!

ปล. ถ้า a = 0 แล้ว ABC จะเป็นแค่เส้นตรง และถ้า m = 0 แล้ว ABC จะเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

2. Acute triangle สามเหลี่ยมมุมแหลม

กลับที่ดูทางด้านสามเหลี่ยมมุมป้านมุมแหลมบ้าง เริ่มต้นเช่นเดียวกัน ตามรูป

จากนั้นใช้ (3) ซึ่งเป็น Pythagoras’ theorem จะได้ว่า

\[c^{2} = m^{2} + k^{2} - (5)\] \[b^{2} = k^{2} + n^{2} - (6)\]

จาก Claim (4) กำหนดให้ \(a^{2}+b^{2} = c^{2}\) เป็นจริง ดังนั้น

\[(m+n)^{2} + k^{2} + n^{2} = m^{2}+ k^{2}\\ m^{2} + 2mn + n^{2} + k^{2} + n^{2} = m^{2} + k^{2}\\ 2mn + 2n^{2} = 0\\ 2n(m+n) = 0\\\]

แต่ทั้ง m และ n ต่างเป็นความยาวของด้านสามเหลี่ยม จึงไม่สามารถเป็นค่า 0 ได้ ดังนั้น \(m+n \neq 0\) และ \(n \neq 0\) contradiction!

ดังนั้นจึงสามารถสรุปได้ว่า

Claim: สามารถสร้างสามเหลี่ยม ABC ที่ไม่เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก แต่ \(a^{2}+b^{2} = c^{2}\) ไม่เป็นจริง

และ

ถ้า “มีรูปสามเหลี่ยม ABC โดยมีแต่ละด้านยาว a, b, c และ \(a^{2}+b^{2} = c^{2}\)” แล้ว “สามเหลี่ยม ABC จะต้องเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก”

QED.

Conclusion

ยังมีอีกหลายทฤษฎีที่น่าตื่นเต้น อยากจะเขียนอีกเยอะเลย จริงๆแล้วคณิตศาสตร์เป็นเรื่องที่สนุกมากๆ ถ้าเข้าใจแล้วคิดอย่างเป็นระบบ ถึงแม้ว่าจะมีคนพิสูจน์ว่า “Mathematics is not conplete” แต่มันก็ยังน่าตื่นเต้นที่จะได้เจออะไรใหม่ๆตลอดเวลา